Номер 757, страница 107, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические колебания. Свободные колебания. Гармонические колебания. Превращения энергии - номер 757, страница 107.

Условие.

757. [626] Грузик на пружине колеблется по закону $x = 4\sin\pi(t + 0.25)$, где $\text{x}$ — смещение грузика, измеряемое в сантиметрах, а $\text{t}$ — время, измеряемое в секундах. Определите амплитуду, период и начальную фазу колебаний.

Решение.

Дано:

Закон колебаний грузика: $x = 4\sin(\pi(t + 0,25))$

где смещение $\text{x}$ измеряется в сантиметрах (см), а время $\text{t}$ — в секундах (с).

Перевод в систему СИ:

Амплитуда из уравнения $A = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$.

Найти:

Амплитуду $\text{A}$, период $\text{T}$ и начальную фазу $\phi_0$.

Решение:

Общее уравнение гармонических колебаний имеет вид $x(t) = A\sin(\omega t + \phi_0)$, где $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, а $\phi_0$ — начальная фаза.

Приведем заданное уравнение $x = 4\sin(\pi(t + 0,25))$ к стандартному виду, раскрыв скобки в аргументе синуса:

$x = 4\sin(\pi t + 0,25\pi)$

Сравнивая полученное уравнение со стандартной формой, определим искомые величины.

Амплитуда

Амплитуда $\text{A}$ — это максимальное значение смещения от положения равновесия, она равна коэффициенту перед функцией синуса. Из уравнения следует, что $A = 4$. Так как смещение $\text{x}$ в исходном уравнении дано в сантиметрах, то $A = 4$ см. В системе СИ это значение составляет $0,04$ м.

Ответ: $A = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$.

Период

Сначала найдем циклическую частоту $\omega$ как коэффициент при времени $\text{t}$ в аргументе синуса. Из уравнения $x = 4\sin(\pi t + 0,25\pi)$ видно, что $\omega = \pi$ рад/с.

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой формулой $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Подставим найденное значение $\omega$:

$T = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \text{ с}$.

Ответ: $T = 2$ с.

Начальная фаза

Начальная фаза $\phi_0$ — это фаза колебаний в начальный момент времени $t=0$. Она соответствует свободному члену в аргументе синуса. Из уравнения $x = 4\sin(\pi t + 0,25\pi)$ следует, что начальная фаза равна $\phi_0 = 0,25\pi$ рад.

Ответ: $\phi_0 = 0,25\pi$ рад.