Номер 761, страница 108, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические колебания. Свободные колебания. Гармонические колебания. Превращения энергии - номер 761, страница 108.

Условие.

761. [630] Как надо изменить длину нити математического маятника, чтобы частота его колебаний уменьшилась в 2 раза?

Решение.

Дано

$\nu_1$ - начальная частота колебаний
$l_1$ - начальная длина нити маятника
$\nu_2$ - конечная частота колебаний
$l_2$ - конечная длина нити маятника
$\frac{\nu_1}{\nu_2} = 2$

Найти:

$\frac{l_2}{l_1}$ - ?

Решение

Частота колебаний математического маятника $\nu$ связана с длиной его нити $\text{l}$ и ускорением свободного падения $\text{g}$ следующей формулой:

$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

Из этой формулы видно, что частота обратно пропорциональна квадратному корню из длины нити: $\nu \sim \frac{1}{\sqrt{l}}$.

Запишем выражения для начальной частоты $\nu_1$ и конечной частоты $\nu_2$:

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_1}}$

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_2}}$

Найдем отношение начальной частоты к конечной, разделив первое уравнение на второе:

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_1}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_2}}} = \sqrt{\frac{g/l_1}{g/l_2}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$

По условию задачи, частота уменьшилась в 2 раза, то есть $\frac{\nu_1}{\nu_2} = 2$. Подставим это значение в полученное соотношение:

$2 = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$

Чтобы найти, как изменилась длина, возведем обе части уравнения в квадрат:

$2^2 = \left(\sqrt{\frac{l_2}{l_1}}\right)^2$

$\frac{l_2}{l_1} = 4$

Следовательно, $l_2 = 4l_1$. Это означает, что для уменьшения частоты колебаний в 2 раза, длину нити маятника необходимо увеличить в 4 раза.

Ответ: чтобы частота колебаний математического маятника уменьшилась в 2 раза, его длину необходимо увеличить в 4 раза.