Номер 765, страница 108, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические колебания. Свободные колебания. Гармонические колебания. Превращения энергии - номер 765, страница 108.

Условие.

765. [634] Шарику массой $100 \text{ г}$, висящему на пружине жёсткостью $1,6 \text{ Н/м}$, сообщили скорость $0,04 \text{ м/с}$, направленную вертикально вниз, и одновременно включили секундомер. Запишите закон изменения координаты $\text{x}$ шарика от времени. Ось ОХ направлена вертикально вверх.

Решение.

Дано

$m = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг}$

$k = 1,6 \text{ Н/м}$

$v_0 = 0,04 \text{ м/с}$

Найти:

$x(t)$ — закон изменения координаты шарика от времени.

Решение

Шарик, висящий на пружине, совершает гармонические колебания. За начало отсчета ($x=0$) примем положение равновесия шарика. Ось OX направлена вертикально вверх.

Уравнение гармонических колебаний в общем виде записывается как:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

где $\text{A}$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

Скорость является первой производной координаты по времени:

$v(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$

1. Найдем циклическую частоту колебаний по формуле:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Подставим числовые значения:

$\omega = \sqrt{\frac{1,6}{0,1}} = \sqrt{16} = 4 \text{ рад/с}$

2. Определим амплитуду $\text{A}$ и начальную фазу $\phi_0$ из начальных условий. В момент времени $t=0$ шарику, находящемуся в положении равновесия, сообщили скорость, направленную вертикально вниз.

Таким образом, при $t=0$ имеем:

Координата $x(0) = 0$.

Скорость $v(0) = -v_0 = -0,04 \text{ м/с}$ (знак "минус" указывает на то, что начальная скорость направлена против оси OX).

Подставим эти условия в общие уравнения:

$x(0) = A \cos(\omega \cdot 0 + \phi_0) = A \cos(\phi_0) = 0$

Поскольку амплитуда $A \neq 0$ (иначе колебаний нет), то $\cos(\phi_0) = 0$. Это возможно, если $\phi_0 = \frac{\pi}{2}$ или $\phi_0 = -\frac{\pi}{2}$.

$v(0) = -A\omega \sin(\omega \cdot 0 + \phi_0) = -A\omega \sin(\phi_0) = -0,04$

$A\omega \sin(\phi_0) = 0,04$

Теперь проверим, какое из значений $\phi_0$ подходит.

Если $\phi_0 = \frac{\pi}{2}$, то $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Тогда $A \cdot 4 \cdot 1 = 0,04$, откуда $A = \frac{0,04}{4} = 0,01 \text{ м}$. Это значение допустимо, так как амплитуда должна быть положительной.

Если $\phi_0 = -\frac{\pi}{2}$, то $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Тогда $A \cdot 4 \cdot (-1) = 0,04$, откуда $A = -0,01 \text{ м}$. Амплитуда не может быть отрицательной, следовательно, это решение не подходит.

Итак, мы определили все параметры колебаний: $A=0,01 \text{ м}$, $\omega = 4 \text{ рад/с}$, $\phi_0 = \frac{\pi}{2}$.

3. Запишем закон изменения координаты, подставив найденные значения в общее уравнение:

$x(t) = 0,01 \cos(4t + \frac{\pi}{2})$

Используя тригонометрическую формулу приведения $\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\alpha)$, получаем окончательный вид уравнения:

$x(t) = -0,01 \sin(4t)$

Здесь координата $\text{x}$ измеряется в метрах, а время $\text{t}$ — в секундах.

Ответ: $x(t) = -0,01 \sin(4t)$.