Номер 772, страница 109, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические колебания. Свободные колебания. Гармонические колебания. Превращения энергии - номер 772, страница 109.

Условие.

772. [641] По дну сферической чаши радиусом $\text{R}$ колеблется без трения маленький кубик. Чаша поставлена в лифт. С каким ускорением движется лифт, если период колебаний кубика:

1) увеличивается в 2 раза;

2) уменьшается в 2 раза?

Решение.

Дано:

$\text{R}$ - радиус сферической чаши
$T_0$ - период колебаний кубика в неподвижном лифте
1) $T_1 = 2T_0$
2) $T_2 = T_0 / 2$
$\text{g}$ - ускорение свободного падения

Найти:

$a_1$ - ускорение лифта в первом случае
$a_2$ - ускорение лифта во втором случае

Решение:

Колебания маленького кубика на дне сферической чаши при малых амплитудах являются гармоническими. Такая система эквивалентна математическому маятнику с длиной, равной радиусу чаши $\text{R}$.

Период колебаний такого маятника в неподвижной системе отсчета (или в лифте, движущемся с постоянной скоростью) определяется формулой:
$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$

Когда лифт движется с ускорением $\text{a}$, направленным вертикально, изменяется вес тела, и, следовательно, изменяется эффективное ускорение свободного падения $g_{eff}$. Период колебаний в лифте будет:
$T' = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g_{eff}}}$

Если ускорение лифта $\text{a}$ направлено вверх, то вес тела увеличивается, и $g_{eff} = g + a$.
Если ускорение лифта $\text{a}$ направлено вниз, то вес тела уменьшается, и $g_{eff} = g - a$.

Рассмотрим оба случая, заданные в условии.

1) увеличивается в 2 раза

По условию $T_1 = 2T_0$. Подставим формулы для периодов:
$2\pi\sqrt{\frac{R}{g_{eff,1}}} = 2 \cdot \left(2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}\right)$

Сократим общие множители и возведем обе части уравнения в квадрат:
$\left(\sqrt{\frac{R}{g_{eff,1}}}\right)^2 = \left(2\sqrt{\frac{R}{g}}\right)^2$
$\frac{R}{g_{eff,1}} = 4\frac{R}{g}$

Отсюда находим эффективное ускорение свободного падения:
$g_{eff,1} = \frac{g}{4}$

Так как $g_{eff,1} < g$, вес тела уменьшился, следовательно, лифт движется с ускорением, направленным вниз.
$g_{eff,1} = g - a_1$
$\frac{g}{4} = g - a_1$

Выражаем ускорение $a_1$:
$a_1 = g - \frac{g}{4} = \frac{3}{4}g$

Ускорение лифта равно $\frac{3}{4}g$ и направлено вниз.

Ответ: ускорение лифта равно $\frac{3}{4}g$ и направлено вертикально вниз.

2) уменьшается в 2 раза

По условию $T_2 = T_0 / 2$. Подставим формулы для периодов:
$2\pi\sqrt{\frac{R}{g_{eff,2}}} = \frac{1}{2} \cdot \left(2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}\right)$

Сократим общие множители и возведем обе части уравнения в квадрат:
$\left(\sqrt{\frac{R}{g_{eff,2}}}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}\right)^2$
$\frac{R}{g_{eff,2}} = \frac{1}{4}\frac{R}{g}$

Отсюда находим эффективное ускорение свободного падения:
$g_{eff,2} = 4g$

Так как $g_{eff,2} > g$, вес тела увеличился, следовательно, лифт движется с ускорением, направленным вверх.
$g_{eff,2} = g + a_2$
$4g = g + a_2$

Выражаем ускорение $a_2$:
$a_2 = 4g - g = 3g$

Ускорение лифта равно $3g$ и направлено вверх.

Ответ: ускорение лифта равно $3g$ и направлено вертикально вверх.