Номер 775, страница 110, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические колебания. Свободные колебания. Гармонические колебания. Превращения энергии - номер 775, страница 110.

Условие.

775. H Два одинаковых шарика, несущие одинаковые одноимённые заряды, соединены пружиной, жёсткость которой $k = 20 \text{ Н/м}$, а длина $l_0 = 4 \text{ см}$. Шарики колеблются так, что расстояние между ними меняется от 3 до 6 см. Определите заряд шариков.

Решение.

Дано:

$k = 20$ Н/м

$l_0 = 4$ см

$r_{min} = 3$ см

$r_{max} = 6$ см

$l_0 = 4 \cdot 10^{-2}$ м
$r_{min} = 3 \cdot 10^{-2}$ м
$r_{max} = 6 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

$\text{q}$

Решение:

Система, состоящая из двух шариков и пружины, является замкнутой. При колебаниях полная механическая энергия системы сохраняется. Полная механическая энергия складывается из кинетической энергии шариков, потенциальной энергии упругой деформации пружины и потенциальной энергии электростатического взаимодействия зарядов.

В крайних точках траектории, когда расстояние между шариками минимально ($r_{min}$) и максимально ($r_{max}$), их скорости равны нулю, а значит, и кинетическая энергия системы равна нулю. В этих точках полная механическая энергия равна полной потенциальной энергии.

Потенциальная энергия пружины: $U_{упр} = \frac{k(r - l_0)^2}{2}$

Потенциальная энергия электростатического взаимодействия: $U_{эл} = \frac{k_e q^2}{r}$, где $k_e = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл² – коэффициент в законе Кулона.

Согласно закону сохранения энергии, полная потенциальная энергия в двух крайних положениях одинакова:

$U(r_{min}) = U(r_{max})$

$\frac{k(r_{min} - l_0)^2}{2} + \frac{k_e q^2}{r_{min}} = \frac{k(r_{max} - l_0)^2}{2} + \frac{k_e q^2}{r_{max}}$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выразить заряд $\text{q}$:

$k_e q^2 \left(\frac{1}{r_{min}} - \frac{1}{r_{max}}\right) = \frac{k}{2} \left((r_{max} - l_0)^2 - (r_{min} - l_0)^2\right)$

$k_e q^2 \frac{r_{max} - r_{min}}{r_{min} r_{max}} = \frac{k}{2} ( (r_{max} - l_0) - (r_{min} - l_0) ) ( (r_{max} - l_0) + (r_{min} - l_0) )$

$k_e q^2 \frac{r_{max} - r_{min}}{r_{min} r_{max}} = \frac{k}{2} (r_{max} - r_{min})(r_{max} + r_{min} - 2l_0)$

Сократим обе части на $(r_{max} - r_{min})$:

$\frac{k_e q^2}{r_{min} r_{max}} = \frac{k}{2} (r_{max} + r_{min} - 2l_0)$

Выразим $q^2$:

$q^2 = \frac{k (r_{max} + r_{min} - 2l_0) r_{min} r_{max}}{2 k_e}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$r_{max} + r_{min} - 2l_0 = 0.06 + 0.03 - 2 \cdot 0.04 = 0.09 - 0.08 = 0.01$ м

$r_{min} r_{max} = 0.03 \cdot 0.06 = 0.0018$ м²

$q^2 = \frac{20 \cdot 0.01 \cdot 0.0018}{2 \cdot 9 \cdot 10^9} = \frac{0.00036}{18 \cdot 10^9} = \frac{36 \cdot 10^{-5}}{18 \cdot 10^9} = 2 \cdot 10^{-14}$ Кл²

Отсюда находим величину заряда $\text{q}$:

$q = \sqrt{2 \cdot 10^{-14}} = \sqrt{2} \cdot 10^{-7} \approx 1.41 \cdot 10^{-7}$ Кл

Ответ: Заряд каждого шарика равен $q \approx 1.41 \cdot 10^{-7}$ Кл (или 141 нКл).