Номер 771, страница 109, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические колебания. Свободные колебания. Гармонические колебания. Превращения энергии - номер 771, страница 109.

Условие.

771. [640] Цилиндр высотой 30 см плавает, погрузившись в воду на $\frac{2}{3}$. Его слегка толкнули вниз. Определите период колебаний цилиндра.

Решение.

Дано:

Высота цилиндра, $H = 30$ см

Доля погруженной части в состоянии равновесия = $\frac{2}{3}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с$^2$

$H = 0.3$ м

Найти:

Период колебаний цилиндра, $\text{T}$.

Решение:

В положении равновесия на цилиндр действуют сила тяжести $F_g$, направленная вниз, и выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_{A,0}$, направленная вверх. По условию плавания, эти силы уравновешивают друг друга: $F_g = F_{A,0}$.

Массу цилиндра $\text{m}$ можно выразить через его плотность $\rho_{ц}$ и объем $V = S \cdot H$, где $\text{S}$ – площадь основания, а $\text{H}$ – высота цилиндра: $F_g = mg = \rho_{ц} S H g$.

Выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости: $F_{A,0} = \rho_{в} g V_{sub,0}$, где $\rho_{в}$ – плотность воды, а $V_{sub,0}$ – объем погруженной части цилиндра. В состоянии равновесия цилиндр погружен на высоту $h_0 = \frac{2}{3}H$, поэтому $V_{sub,0} = S \cdot h_0$.

Из условия равновесия $mg = \rho_{в} g S h_0$.

Если сместить цилиндр из положения равновесия на малую величину $\text{x}$ вниз, глубина погружения станет $h_0 + x$. Новая выталкивающая сила будет равна $F_A = \rho_{в} g S (h_0 + x)$.

Равнодействующая сила, стремящаяся вернуть цилиндр в положение равновесия (возвращающая сила), будет равна:

$F_{возвр} = F_A - F_g = \rho_{в} g S (h_0 + x) - mg$

Подставим выражение для $mg$ из условия равновесия:

$F_{возвр} = \rho_{в} g S (h_0 + x) - \rho_{в} g S h_0 = \rho_{в} g S x$

Эта сила направлена вверх, то есть в сторону, противоположную смещению $\text{x}$. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения цилиндра имеет вид $ma = -F_{возвр}$, или $m\frac{d^2x}{dt^2} = -(\rho_{в} g S)x$.

Это уравнение гармонических колебаний вида $m\ddot{x} = -kx$, где коэффициент жесткости $k = \rho_{в} g S$.

Период таких колебаний определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\rho_{в} g S}}$

Снова используя условие равновесия $m = \rho_{в} S h_0$, подставим массу в формулу для периода:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{\rho_{в} S h_0}{\rho_{в} g S}} = 2\pi\sqrt{\frac{h_0}{g}}$

Теперь вычислим значения. Высота погруженной части в равновесии:

$h_0 = \frac{2}{3}H = \frac{2}{3} \cdot 0.3 \text{ м} = 0.2 \text{ м}$

Подставим числовые значения в формулу для периода:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{0.2 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} = 2\pi\sqrt{\frac{2}{98}} \text{ с} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{49}} \text{ с} = 2\pi \cdot \frac{1}{7} \text{ с} = \frac{2\pi}{7} \text{ с}$

Приближенное значение:

$T \approx \frac{2 \cdot 3.14159}{7} \approx 0.8976 \text{ с} \approx 0.9 \text{ с}$

Ответ: $T = \frac{2\pi}{7} \text{ с} \approx 0.9 \text{ с}$.