Номер 769, страница 109, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические колебания. Свободные колебания. Гармонические колебания. Превращения энергии - номер 769, страница 109.

Условие.

769. [638] Брусок массой 1 кг, прикреплённый пружиной к стене, совершает гармонические колебания по гладкой горизонтальной поверхности (рис. 179). В момент прохождения бруском положения равновесия на него падает вертикально кусок пластилина массой 0,2 кг и прилипает к нему. Как изменятся частота и амплитуда колебаний бруска?

Рис. 179

Решение.

Дано:

$m_1 = 1$ кг (масса бруска)

$m_2 = 0,2$ кг (масса пластилина)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Как изменятся частота ($\nu$) и амплитуда ($\text{A}$) колебаний.

Решение:

Рассмотрим два аспекта задачи: изменение частоты и изменение амплитуды колебаний.

1. Частота колебаний

Частота гармонических колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

где $\text{k}$ — жесткость пружины, а $\text{m}$ — масса колеблющегося тела.

Изначально масса системы была равна массе бруска $m_1$. Начальная частота колебаний:

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}$

После того как пластилин прилип к бруску, масса колеблющейся системы стала $M = m_1 + m_2$. Новая частота колебаний:

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1+m_2}}$

Чтобы определить, как изменилась частота, найдем отношение $\frac{\nu_2}{\nu_1}$:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1+m_2}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_1+m_2}}$

Подставим числовые значения:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{1}{1+0,2}} = \sqrt{\frac{1}{1,2}} = \sqrt{\frac{10}{12}} = \sqrt{\frac{5}{6}} \approx 0,913$

Так как отношение $\frac{\nu_2}{\nu_1} < 1$, частота колебаний уменьшится.

Ответ: Частота колебаний уменьшится в $\sqrt{1,2} \approx 1,095$ раз (или станет равна $\sqrt{5/6} \approx 0,913$ от первоначальной).

2. Амплитуда колебаний

Пластилин падает на брусок в момент прохождения положения равновесия. В этой точке скорость бруска максимальна ($v_1 = v_{max1}$), а потенциальная энергия пружины равна нулю. Вся энергия системы — кинетическая.

Поскольку пластилин падает вертикально, его горизонтальный импульс равен нулю. Взаимодействие бруска и пластилина (неупругий удар) происходит в горизонтальном направлении. По закону сохранения импульса для горизонтальной оси:

$m_1 v_1 = (m_1+m_2)v_2$

где $v_2$ — скорость системы «брусок + пластилин» сразу после удара. Эта скорость будет новой максимальной скоростью ($v_2 = v_{max2}$).

$v_2 = \frac{m_1}{m_1+m_2}v_1$

Полная механическая энергия гармонических колебаний может быть выражена через амплитуду или через максимальную скорость:

$E = \frac{kA^2}{2} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Отсюда $kA^2 = mv_{max}^2$, и амплитуда $A = v_{max}\sqrt{\frac{m}{k}}$.

Начальная амплитуда:

$A_1 = v_1 \sqrt{\frac{m_1}{k}}$

Новая амплитуда после прилипания пластилина:

$A_2 = v_2 \sqrt{\frac{m_1+m_2}{k}}$

Подставим выражение для $v_2$:

$A_2 = \left(\frac{m_1}{m_1+m_2}v_1\right) \sqrt{\frac{m_1+m_2}{k}} = v_1 \frac{m_1}{\sqrt{m_1+m_2}\sqrt{k}}$

Теперь найдем отношение амплитуд $\frac{A_2}{A_1}$:

$\frac{A_2}{A_1} = \frac{v_1 \frac{m_1}{\sqrt{m_1+m_2}\sqrt{k}}}{v_1 \sqrt{\frac{m_1}{k}}} = \frac{m_1}{\sqrt{m_1+m_2}\sqrt{k}} \cdot \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{m_1}} = \frac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{m_1+m_2}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_1+m_2}}$

Подставим числовые значения:

$\frac{A_2}{A_1} = \sqrt{\frac{1}{1+0,2}} = \sqrt{\frac{1}{1,2}} = \sqrt{\frac{5}{6}} \approx 0,913$

Так как отношение $\frac{A_2}{A_1} < 1$, амплитуда колебаний также уменьшится.

Ответ: Амплитуда колебаний уменьшится в $\sqrt{1,2} \approx 1,095$ раз (или станет равна $\sqrt{5/6} \approx 0,913$ от первоначальной).