Номер 776, страница 110, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические колебания. Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс - номер 776, страница 110.

Условие.

776. H Брусок массой 1 кг, привязанный к закреплённой с одного конца пружине жёсткостью 100 Н/м, находится на горизонтальной поверхности. Пружину растягивают на 4 см, и брусок движется к положению равновесия. Определите максимальное сжатие пружины, если коэффициент трения между бруском и поверхностью 0,1, а до остановки он сделал $\frac{3}{4}$ полного колебания.

Решение.

Дано:

$m = 1$ кг

$k = 100$ Н/м

$x_0 = 4$ см

$\mu = 0,1$

Брусок совершил до остановки $N = \frac{3}{4}$ полного колебания.

Примем ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

Перевод в систему СИ:

$x_0 = 4$ см = $0,04$ м

Найти:

$x_{сж}$ - максимальное сжатие пружины.

Решение:

Воспользуемся законом сохранения энергии с учётом работы силы трения. Изменение полной механической энергии системы равно работе неконсервативных сил (в данном случае, силы трения).

$\Delta E = A_{тр}$

$E_{кон} - E_{нач} = A_{тр}$

Опишем движение бруска. Полное колебание — это движение от максимального растяжения до максимального сжатия и обратно.

По условию, брусок совершил $\frac{3}{4}$ полного колебания. Это означает, что он прошел следующий путь:

1. От точки максимального растяжения $x_0$ до положения равновесия $x=0$ (это $\frac{1}{4}$ колебания).

2. От положения равновесия $x=0$ до точки максимального сжатия $-x_{сж}$ (это еще $\frac{1}{4}$ колебания).

3. От точки максимального сжатия $-x_{сж}$ обратно до положения равновесия $x=0$, где и остановился (это еще $\frac{1}{4}$ колебания).

Таким образом, начальное состояние системы: пружина растянута на $x_0$, скорость бруска равна нулю. Начальная энергия системы — это потенциальная энергия растянутой пружины:

$E_{нач} = \frac{k x_0^2}{2}$

Конечное состояние системы: брусок находится в положении равновесия ($x=0$) и его скорость равна нулю. Полная механическая энергия в конечном состоянии равна нулю:

$E_{кон} = 0$

Работа силы трения $A_{тр}$ отрицательна и равна произведению модуля силы трения $F_{тр}$ на пройденный путь $\text{S}$.

$A_{тр} = -F_{тр} \cdot S$

Сила трения скольжения:

$F_{тр} = \mu N = \mu m g$

Полный путь $\text{S}$, пройденный бруском, складывается из трёх участков: от $x_0$ до 0 (путь $x_0$), от 0 до $-x_{сж}$ (путь $x_{сж}$), и от $-x_{сж}$ до 0 (путь $x_{сж}$).

$S = x_0 + x_{сж} + x_{сж} = x_0 + 2x_{сж}$

Подставляем все выражения в закон сохранения энергии:

$0 - \frac{k x_0^2}{2} = - \mu m g (x_0 + 2x_{сж})$

$\frac{k x_0^2}{2} = \mu m g (x_0 + 2x_{сж})$

Выразим из этого уравнения искомое максимальное сжатие $x_{сж}$:

$x_0 + 2x_{сж} = \frac{k x_0^2}{2 \mu m g}$

$2x_{сж} = \frac{k x_0^2}{2 \mu m g} - x_0$

$x_{сж} = \frac{k x_0^2}{4 \mu m g} - \frac{x_0}{2}$

Подставим числовые значения:

$x_{сж} = \frac{100 \cdot (0,04)^2}{4 \cdot 0,1 \cdot 1 \cdot 10} - \frac{0,04}{2} = \frac{100 \cdot 0,0016}{4} - 0,02 = \frac{0,16}{4} - 0,02 = 0,04 - 0,02 = 0,02$ м.

Переведём результат в сантиметры: $0,02$ м = $\text{2}$ см.

Ответ: максимальное сжатие пружины составляет $\text{2}$ см.