Номер 781, страница 110, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические колебания. Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс - номер 781, страница 110.

Условие.

781. H Определите угловую скорость вращения диска при резонансе в колебательной системе (рис. 3.10 учебника). Жёсткость пружин 100 Н/м, масса шарика 200 г.

Решение.

Дано:

Жёсткость каждой пружины, $k = 100 \text{ Н/м}$

Масса шарика, $m = 200 \text{ г}$

В системе СИ:

$m = 0.2 \text{ кг}$

Найти:

Угловую скорость вращения диска при резонансе, $\omega$.

Решение:

Явление резонанса в колебательной системе наступает в том случае, когда угловая частота вынуждающей силы совпадает с собственной (природной) угловой частотой колебаний системы. В данной задаче роль вынуждающей силы выполняет вращающийся диск, следовательно, его угловая скорость вращения $\omega$ и есть угловая частота вынуждающей силы.

Собственная угловая частота колебаний $\omega_0$ для системы, состоящей из шарика массы $\text{m}$ и пружин с общей жёсткостью $k_{eff}$, определяется по формуле:

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k_{eff}}{m}}$

Условие резонанса можно записать как $\omega = \omega_0$.

Из условия задачи ("жёсткость пружин") следует, что в системе как минимум две пружины. Стандартная схема для подобных демонстраций предполагает крепление шарика между двумя пружинами, что является их параллельным соединением. При параллельном соединении общая жёсткость системы равна сумме жёсткостей отдельных пружин:

$k_{eff} = k + k = 2k$

Подставим значение жёсткости $\text{k}$:

$k_{eff} = 2 \cdot 100 \text{ Н/м} = 200 \text{ Н/м}$

Теперь мы можем рассчитать собственную угловую частоту колебаний системы, используя массу шарика в СИ:

$\omega_0 = \sqrt{\frac{200 \text{ Н/м}}{0.2 \text{ кг}}} = \sqrt{1000 \text{ рад}^2/\text{с}^2} = \sqrt{100 \cdot 10} \text{ рад/с} = 10\sqrt{10} \text{ рад/с}$

Так как при резонансе $\omega = \omega_0$, то искомая угловая скорость вращения диска равна $10\sqrt{10} \text{ рад/с}$.

Для численной оценки можно вычислить приближенное значение:

$\omega \approx 10 \cdot 3.16 \approx 31.6 \text{ рад/с}$

Ответ: угловая скорость вращения диска при резонансе должна быть равна $10\sqrt{10} \text{ рад/с}$, что приблизительно составляет $31.6 \text{ рад/с}$.