Номер 786, страница 111, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Электромагнитные колебания. Свободные и вынужденные электромагнитные колебания - номер 786, страница 111.

Условие.

786. [646] В колебательный контур включён плоский конденсатор. Как надо изменить расстояние между пластинами, чтобы частота колебаний в контуре увеличилась в 2 раза?

Решение.

Дано:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = 2$

Найти:

Во сколько раз нужно изменить расстояние $\text{d}$ - ?

Решение:

Частота собственных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре (LC-контуре) определяется формулой Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\text{L}$ - индуктивность катушки, а $\text{C}$ - ёмкость конденсатора.

В начальном состоянии частота колебаний была $\nu_1$ при ёмкости конденсатора $C_1$ и расстоянии между пластинами $d_1$.

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}$

В конечном состоянии частота стала $\nu_2$ при ёмкости $C_2$ и расстоянии $d_2$.

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}$

Индуктивность катушки $\text{L}$ в контуре не изменяется. По условию задачи, конечная частота в 2 раза больше начальной: $\nu_2 = 2\nu_1$.

Найдем отношение частот, чтобы определить, как должна измениться ёмкость:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}} = \frac{2\pi\sqrt{LC_1}}{2\pi\sqrt{LC_2}} = \sqrt{\frac{C_1}{C_2}}$

Подставим известное отношение частот $\frac{\nu_2}{\nu_1} = 2$ в полученное выражение:

$2 = \sqrt{\frac{C_1}{C_2}}$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$4 = \frac{C_1}{C_2}$

Отсюда получаем соотношение между начальной и конечной ёмкостями: $C_2 = \frac{C_1}{4}$.

Это значит, что для увеличения частоты колебаний в 2 раза, ёмкость конденсатора необходимо уменьшить в 4 раза.

Ёмкость плоского конденсатора определяется формулой:

$C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

где $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды между пластинами, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $\text{S}$ — площадь пластин, $\text{d}$ — расстояние между ними.

Так как изменяется только расстояние между пластинами, запишем ёмкости $C_1$ и $C_2$ через соответствующие расстояния $d_1$ и $d_2$:

$C_1 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_1}$

$C_2 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_2}$

Подставим эти выражения в найденное соотношение $C_2 = \frac{C_1}{4}$:

$\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d_1}$

Сократим одинаковые множители $\varepsilon \varepsilon_0 S$ в обеих частях равенства:

$\frac{1}{d_2} = \frac{1}{4d_1}$

Из этого следует, что $d_2 = 4d_1$.

Таким образом, чтобы увеличить частоту колебаний в 2 раза, необходимо увеличить расстояние между пластинами конденсатора в 4 раза.

Ответ: расстояние между пластинами надо увеличить в 4 раза.