Номер 791, страница 112, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Электромагнитные колебания. Свободные и вынужденные электромагнитные колебания - номер 791, страница 112.

Условие.

791. [651] В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью $2 \text{ Гн}$ и конденсатора ёмкостью $1.5 \text{ мкФ}$, максимальное значение заряда на пластинах $2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$. Определите значение силы тока в контуре в тот момент, когда заряд на пластинах конденсатора станет равным $10^{-6} \text{ Кл}$. В начальный момент времени конденсатор не заряжен.

Решение.

Дано:

$L = 2$ Гн

$C = 1,5$ мкФ

$q_{max} = 2 \cdot 10^{-6}$ Кл

$q = 10^{-6}$ Кл

$C = 1,5 \text{ мкФ} = 1,5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

$\text{I}$ - ?

Решение:

Для идеального колебательного контура (без сопротивления) выполняется закон сохранения энергии. Полная энергия контура $\text{W}$ в любой момент времени складывается из энергии электрического поля конденсатора $W_C$ и энергии магнитного поля катушки индуктивности $W_L$.

$W = W_C + W_L$

Энергия конденсатора и катушки определяются по формулам:

$W_C = \frac{q^2}{2C}$

$W_L = \frac{LI^2}{2}$

Таким образом, полная энергия в любой момент времени равна:

$W = \frac{q^2}{2C} + \frac{LI^2}{2}$

Поскольку потерь энергии нет, полная энергия контура остается постоянной и равной ее максимальному значению. Максимальная энергия в контуре запасается в конденсаторе в тот момент, когда заряд на его пластинах максимален ($q = q_{max}$), а ток в катушке равен нулю ($I=0$).

$W_{max} = \frac{q_{max}^2}{2C}$

Приравнивая выражение для полной энергии в произвольный момент времени к ее максимальному значению, получаем уравнение:

$\frac{q_{max}^2}{2C} = \frac{q^2}{2C} + \frac{LI^2}{2}$

Из этого уравнения выразим искомую силу тока $\text{I}$. Для этого умножим обе части уравнения на 2:

$\frac{q_{max}^2}{C} = \frac{q^2}{C} + LI^2$

Выразим член с силой тока:

$LI^2 = \frac{q_{max}^2}{C} - \frac{q^2}{C}$

$LI^2 = \frac{q_{max}^2 - q^2}{C}$

Отсюда находим квадрат силы тока:

$I^2 = \frac{q_{max}^2 - q^2}{LC}$

И, наконец, саму силу тока (берем положительное значение, так как нас интересует величина):

$I = \sqrt{\frac{q_{max}^2 - q^2}{LC}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$I = \sqrt{\frac{(2 \cdot 10^{-6})^2 - (10^{-6})^2}{2 \cdot 1,5 \cdot 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 10^{-12} - 1 \cdot 10^{-12}}{3 \cdot 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 10^{-12}}{3 \cdot 10^{-6}}} = \sqrt{10^{-6}} = 10^{-3} \text{ А}$

Ответ: сила тока в контуре в указанный момент времени равна $10^{-3}$ А, или 1 мА.