Номер 787, страница 111, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Электромагнитные колебания. Свободные и вынужденные электромагнитные колебания - номер 787, страница 111.

Условие.

787. [647] Колебательный контур состоит из воздушного конденсатора с площадью пластин $100 \text{ см}^2$ и катушки индуктивностью $10^{-5} \text{ Гн}$. Период колебаний в контуре $10^{-7} \text{ с}$. Определите расстояние между пластинами конденсатора.

Решение.

Дано:

$S = 100 \text{ см}^2$

$L = 10^{-5} \text{ Гн}$

$T = 10^{-7} \text{ с}$

Конденсатор воздушный, следовательно диэлектрическая проницаемость среды $\varepsilon = 1$.

Электрическая постоянная $\varepsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$.

Перевод в систему СИ:
$S = 100 \text{ см}^2 = 100 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 100 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 10^{-2} \text{ м}^2$.

Найти:

$\text{d}$ - ?

Решение:

Период свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

где $\text{L}$ - индуктивность катушки, а $\text{C}$ - емкость конденсатора.

Из этой формулы можно выразить емкость конденсатора. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = 4\pi^2LC$

Отсюда емкость $\text{C}$ равна:

$C = \frac{T^2}{4\pi^2L}$

С другой стороны, емкость плоского воздушного конденсатора зависит от его геометрических размеров и вычисляется по формуле:

$C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d}$

Так как конденсатор воздушный, $\varepsilon = 1$, и формула принимает вид:

$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$

Приравнивая два полученных выражения для емкости $\text{C}$, получаем:

$\frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{T^2}{4\pi^2L}$

Теперь из этого равенства выразим искомое расстояние между пластинами $\text{d}$:

$d = \frac{4\pi^2L \varepsilon_0 S}{T^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$d = \frac{4 \cdot (3.14)^2 \cdot 10^{-5} \text{ Гн} \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 10^{-2} \text{ м}^2}{(10^{-7} \text{ с})^2}$

$d = \frac{4 \cdot 9.87 \cdot 10^{-5} \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 10^{-2}}{10^{-14}} \text{ м}$

$d = \frac{349.4 \cdot 10^{-19}}{10^{-14}} \text{ м} = 349.4 \cdot 10^{-5} \text{ м} \approx 3.5 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры: $3.5 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 3.5 \text{ мм}$.

Ответ: расстояние между пластинами конденсатора равно $3.5 \cdot 10^{-3} \text{ м}$ или $3.5 \text{ мм}$.