Номер 774, страница 109, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические колебания. Свободные колебания. Гармонические колебания. Превращения энергии - номер 774, страница 109.

Условие.

774. [643] Ускорение свободного падения на поверхности Марса 3,7 $\text{м/с}^2$. Сравните периоды колебаний математического и пружинного маятников на Марсе и Земле.

Решение.

Дано:

Ускорение свободного падения на поверхности Марса $g_М = 3,7 \text{ м/с²}$

Ускорение свободного падения на поверхности Земли (стандартное значение) $g_З \approx 9,8 \text{ м/с²}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Сравнить периоды колебаний математического и пружинного маятников на Марсе и Земле.

Решение:

Рассмотрим каждый тип маятника отдельно.

1. Сравнение периодов колебаний пружинного маятника

Период колебаний пружинного маятника вычисляется по формуле:

$T_{пруж} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $\text{m}$ — масса груза, а $\text{k}$ — жёсткость пружины. Данные величины являются внутренними характеристиками маятника и не зависят от ускорения свободного падения $\text{g}$. Следовательно, период колебаний пружинного маятника будет одинаковым как на Земле, так и на Марсе.

$T_{пруж.М} = T_{пруж.З}$

Ответ: Период колебаний пружинного маятника на Марсе равен периоду его колебаний на Земле.

2. Сравнение периодов колебаний математического маятника

Период колебаний математического маятника вычисляется по формуле:

$T_{мат} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $\text{l}$ — длина подвеса, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения. В отличие от пружинного маятника, период математического маятника зависит от $\text{g}$. Длина подвеса $\text{l}$ остается неизменной.

Запишем выражения для периода колебаний на Земле ($T_{мат.З}$) и на Марсе ($T_{мат.М}$):

$T_{мат.З} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_З}}$

$T_{мат.М} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_М}}$

Для сравнения периодов найдем их отношение:

$\frac{T_{мат.М}}{T_{мат.З}} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{g_М}}}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g_З}}} = \sqrt{\frac{l}{g_М}} \cdot \sqrt{\frac{g_З}{l}} = \sqrt{\frac{g_З}{g_М}}$

Подставим известные значения $g_З$ и $g_М$:

$\frac{T_{мат.М}}{T_{мат.З}} = \sqrt{\frac{9,8}{3,7}} \approx \sqrt{2,6486} \approx 1,63$

Это означает, что $T_{мат.М} \approx 1,63 \cdot T_{мат.З}$. Поскольку ускорение свободного падения на Марсе меньше, чем на Земле ($g_М < g_З$), период колебаний математического маятника на Марсе будет больше. Маятник будет колебаться медленнее.

Ответ: Период колебаний математического маятника на Марсе примерно в 1,63 раза больше, чем на Земле.