Номер 759, страница 107, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Колебания и волны. Механические колебания. Свободные колебания. Гармонические колебания. Превращения энергии - номер 759, страница 107.

Условие.

759. [628] Амплитуда колебаний материальной точки 2 см, а максимальное значение ускорения $8 \text{ см/с}^2$. Определите частоту и период колебаний.

Решение.

Дано:

Амплитуда колебаний $A = 2 \text{ см}$

Максимальное значение ускорения $a_{max} = 8 \text{ см/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$A = 2 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.02 \text{ м}$

$a_{max} = 8 \cdot 10^{-2} \text{ м/с}^2 = 0.08 \text{ м/с}^2$

Найти:

Частоту колебаний $\text{f}$ и период колебаний $\text{T}$.

Решение:

При гармонических колебаниях смещение материальной точки от положения равновесия описывается уравнением $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $\text{A}$ – амплитуда, $\omega$ – циклическая (угловая) частота, $\text{t}$ – время, $\phi_0$ – начальная фаза.

Ускорение точки $a(t)$ является второй производной от смещения по времени:

$a(t) = x''(t) = -A \omega^2 \cos(\omega t + \phi_0)$

Максимальное значение ускорения по модулю (амплитуда ускорения) $a_{max}$ достигается, когда модуль косинуса равен единице ($|\cos(\omega t + \phi_0)| = 1$). Таким образом, связь между максимальным ускорением и амплитудой смещения имеет вид:

$a_{max} = A \omega^2$

Из этой формулы мы можем выразить циклическую частоту $\omega$:

$\omega = \sqrt{\frac{a_{max}}{A}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$\omega = \sqrt{\frac{0.08 \text{ м/с}^2}{0.02 \text{ м}}} = \sqrt{4 \text{ с}^{-2}} = 2 \text{ рад/с}$

Циклическая частота связана с линейной частотой $\text{f}$ и периодом $\text{T}$ следующими соотношениями:

$\omega = 2\pi f$

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Найдем частоту колебаний $\text{f}$:

$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{2}{2\pi} = \frac{1}{\pi} \text{ Гц}$

Теперь найдем период колебаний $\text{T}$. Его можно вычислить как величину, обратную частоте ($T = 1/f$), или через циклическую частоту.

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2} = \pi \text{ с}$

Ответ: частота колебаний $f = \frac{1}{\pi} \text{ Гц} \approx 0.32 \text{ Гц}$; период колебаний $T = \pi \text{ с} \approx 3.14 \text{ с}$.