Номер 930, страница 129, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Световые волны. Дифракция света. Дифракционная решётка - номер 930, страница 129.

Условие.

930. [773] На дифракционную решётку, имеющую 100 штрихов на 1 мм, по нормали к ней падает белый свет. Определите длину спектра первого порядка на экране, если расстояние от линзы до экрана 2 м. Видимым считайте свет в диапазоне длин волн 400—760 нм.

Решение.

Дано:

Число штрихов на 1 мм: $N_0 = 100$ штр/мм

Расстояние от линзы до экрана: $L = 2$ м

Диапазон длин волн видимого света: $\lambda_{min} = 400$ нм, $\lambda_{max} = 760$ нм

Порядок спектра: $k = 1$

Перевод в СИ:

Период решётки: $d = \frac{1 \text{ мм}}{100} = 0.01 \text{ мм} = 1 \cdot 10^{-5}$ м

$\lambda_{min} = 400 \text{ нм} = 400 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 4 \cdot 10^{-7}$ м

$\lambda_{max} = 760 \text{ нм} = 760 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 7.6 \cdot 10^{-7}$ м

Найти:

Длину спектра первого порядка $\Delta x$.

Решение:

Условие дифракционных максимумов для решётки, на которую свет падает по нормали, задаётся формулой:

$d \sin \varphi = k \lambda$

где $\text{d}$ - период решётки, $\varphi$ - угол дифракции, $\text{k}$ - порядок максимума, а $\lambda$ - длина волны света.

Для спектра первого порядка $k=1$. Белый свет при прохождении через решётку разлагается в спектр, так как угол дифракции $\varphi$ зависит от длины волны $\lambda$. Наименьший угол отклонения будет у фиолетового света ($\lambda_{min}$), а наибольший — у красного ($\lambda_{max}$).

Найдём углы отклонения для границ видимого спектра:

Для фиолетового света: $\sin \varphi_{min} = \frac{k \lambda_{min}}{d} = \frac{1 \cdot \lambda_{min}}{d}$

Для красного света: $\sin \varphi_{max} = \frac{k \lambda_{max}}{d} = \frac{1 \cdot \lambda_{max}}{d}$

Лучи, отклоненные на угол $\varphi$, собираются линзой на экране на расстоянии $\text{x}$ от центрального максимума. Это расстояние можно найти из геометрии:

$x = L \tan \varphi$

Поскольку углы дифракции для первых порядков обычно малы, можно использовать приближение $\tan \varphi \approx \sin \varphi$. Проверим это для максимального угла:

$\sin \varphi_{max} = \frac{7.6 \cdot 10^{-7} \text{ м}}{1 \cdot 10^{-5} \text{ м}} = 0.076$

Значение синуса мало, поэтому приближение является допустимым.

Тогда положения краёв спектра на экране:

$x_{min} \approx L \sin \varphi_{min} = L \frac{\lambda_{min}}{d}$

$x_{max} \approx L \sin \varphi_{max} = L \frac{\lambda_{max}}{d}$

Длина (ширина) спектра первого порядка $\Delta x$ равна разности этих положений:

$\Delta x = x_{max} - x_{min} = L \frac{\lambda_{max}}{d} - L \frac{\lambda_{min}}{d} = \frac{L}{d} (\lambda_{max} - \lambda_{min})$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta x = \frac{2 \text{ м}}{1 \cdot 10^{-5} \text{ м}} (7.6 \cdot 10^{-7} \text{ м} - 4 \cdot 10^{-7} \text{ м}) = 2 \cdot 10^5 \cdot (3.6 \cdot 10^{-7}) \text{ м} = 7.2 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Переведём результат в сантиметры: $0.072 \text{ м} = 7.2 \text{ см}$.

Ответ: длина спектра первого порядка на экране составляет $7.2$ см.