Номер 935, страница 130, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Элементы теории относительности. Постулаты теории относительности. Основные следствия. Связь между массой и энергией - номер 935, страница 130.

Условие.

935. [778] В неподвижном состоянии тело имеет строго сферическую форму. С какой скоростью движется это тело, если относительно неподвижного наблюдателя его диаметр вдоль направления движения составляет $0,98$ вертикального диаметра?

Решение.

Дано:

$D_{движ} = 0,98 \cdot D_{верт}$

$c = 3 \cdot 10^8$ м/с (скорость света в вакууме)

Найти:

$\text{v}$ - скорость тела.

Решение:

Данная задача описывает релятивистский эффект сокращения длины (лоренцево сокращение), который наблюдается, когда объект движется со скоростью, близкой к скорости света, относительно наблюдателя.

Согласно специальной теории относительности, размеры объекта, движущегося со скоростью $\text{v}$ относительно наблюдателя, сокращаются только в направлении движения. Размеры, перпендикулярные направлению движения, остаются неизменными.

Пусть $D_0$ — это диаметр сферы в ее собственной системе отсчета (когда она находится в состоянии покоя). В этой системе отсчета тело является идеальной сферой, и все ее диаметры равны $D_0$.

Для неподвижного наблюдателя вертикальный диаметр тела, который перпендикулярен направлению движения, не изменится:

$D_{верт} = D_0$

Диаметр тела вдоль направления движения $D_{движ}$ будет сокращаться в соответствии с формулой лоренцева сокращения:

$D_{движ} = D_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

По условию задачи, диаметр вдоль направления движения составляет 0,98 вертикального диаметра:

$D_{движ} = 0,98 \cdot D_{верт}$

Подставим в это соотношение выражения для $D_{движ}$ и $D_{верт}$:

$D_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = 0,98 \cdot D_0$

Мы можем сократить $D_0$ в обеих частях уравнения, так как собственный диаметр не равен нулю:

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = 0,98$

Для того чтобы найти скорость $\text{v}$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$1 - \frac{v^2}{c^2} = 0,98^2$

$1 - \frac{v^2}{c^2} = 0,9604$

Теперь выразим из уравнения отношение $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - 0,9604$

$\frac{v^2}{c^2} = 0,0396$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $\text{v}$:

$v = c \cdot \sqrt{0,0396}$

$v \approx 0,199 \cdot c$

Теперь вычислим численное значение скорости, используя значение скорости света $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с:

$v \approx 0,199 \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \approx 0,597 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Это значение можно записать как $5,97 \cdot 10^7$ м/с.

Ответ: Скорость тела составляет $v \approx 0,199c$, что примерно равно $5,97 \cdot 10^7$ м/с.