Номер 941, страница 130, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Элементы теории относительности. Постулаты теории относительности. Основные следствия. Связь между массой и энергией - номер 941, страница 130.

Условие.

941. [785] Какой должна быть точность часов на борту реактивного самолёта, летящего со скоростью $10^3$ км/ч, для того чтобы обнаружить эффект замедления времени при облёте вокруг земного шара? Радиус Земли 6400 км.

Решение.

Дано:

Скорость самолета, $v = 10^3 \text{ км/ч}$

Радиус Земли, $R = 6400 \text{ км}$

Перевод в систему СИ:

$v = 10^3 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 1000 \times \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 277.8 \text{ м/с}$

$R = 6400 \text{ км} = 6400 \times 10^3 \text{ м} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

Скорость света в вакууме, $c = 3 \times 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Точность часов, необходимую для обнаружения эффекта замедления времени ($\delta t$).

Решение:

Для того чтобы обнаружить эффект замедления времени, точность бортовых часов должна быть выше, чем величина этого замедления за время полета. Найдем эту величину.

Согласно специальной теории относительности, время, прошедшее в движущейся системе отсчета (в самолете), $\Delta t$, связано со временем, прошедшим в неподвижной системе отсчета (на Земле), $\Delta t'$, соотношением:

$\Delta t = \Delta t' \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Разница во времени, которую нужно зафиксировать, равна:

$\delta t = \Delta t' - \Delta t = \Delta t' \left(1 - \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right)$

Так как скорость самолета $\text{v}$ много меньше скорости света $\text{c}$ ($v \ll c$), можно использовать приближенную формулу, полученную из разложения в ряд Тейлора: $\sqrt{1-x} \approx 1 - \frac{1}{2}x$ для малых $\text{x}$. В нашем случае $x = \frac{v^2}{c^2}$.

Тогда разница во времени будет:

$\delta t \approx \Delta t' \left(1 - \left(1 - \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}\right)\right) = \Delta t' \frac{v^2}{2c^2}$

Время полета $\Delta t'$ для наблюдателя на Земле можно найти, разделив длину окружности Земли $\text{L}$ на скорость самолета $\text{v}$:

$L = 2\pi R$

$\Delta t' = \frac{L}{v} = \frac{2\pi R}{v}$

Подставим выражение для $\Delta t'$ в формулу для $\delta t$:

$\delta t \approx \frac{2\pi R}{v} \cdot \frac{v^2}{2c^2} = \frac{\pi R v}{c^2}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$\delta t \approx \frac{3.14 \times (6.4 \times 10^6 \text{ м}) \times 277.8 \text{ м/с}}{(3 \times 10^8 \text{ м/с})^2} = \frac{3.14 \times 6.4 \times 277.8 \times 10^6}{9 \times 10^{16}} \approx \frac{5580 \times 10^6}{9 \times 10^{16}} \approx 6.2 \times 10^{-8} \text{ с}$

Следовательно, чтобы обнаружить эффект замедления времени, часы должны иметь точность, позволяющую измерять интервалы времени порядка $10^{-8}$ секунды (или 62 наносекунды) или лучше.

Ответ: Точность часов должна быть порядка $10^{-8}$ с.