Номер 939, страница 130, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Элементы теории относительности. Постулаты теории относительности. Основные следствия. Связь между массой и энергией - номер 939, страница 130.

Условие.

939. [783] Собственное время жизни $\pi$-мезона $2,6 \cdot 10^{-8}$ с. С какой скоростью должна лететь эта частица, чтобы до распада пролететь 20 м?

Решение.

Дано:

Собственное время жизни π-мезона, $ \tau_0 = 2.6 \cdot 10^{-8} $ с

Расстояние, которое пролетает частица, $ L = 20 $ м

Скорость света в вакууме, $ c \approx 3 \cdot 10^8 $ м/с

Найти:

Скорость частицы, $ v $

Решение:

Эта задача решается с использованием понятий специальной теории относительности, в частности, эффекта замедления времени. Время жизни π-мезона, измеренное в лабораторной системе отсчета ($ \tau $), относительно которой он движется с релятивистской скоростью, будет больше его собственного времени жизни ($ \tau_0 $), которое измеряется в системе отсчета, связанной с самим мезоном.

Связь между временем в движущейся ($ \tau_0 $) и неподвижной ($ \tau $) системах отсчета описывается формулой замедления времени:

$ \tau = \frac{\tau_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $

где $ v $ — скорость π-мезона, а $ c $ — скорость света.

В лабораторной системе отсчета частица за время своего существования $ \tau $ пролетает расстояние $ L $. Это расстояние связано со скоростью частицы и временем полета простым соотношением:

$ L = v \cdot \tau $

Из этого соотношения мы можем выразить время $ \tau $:

$ \tau = \frac{L}{v} $

Теперь мы можем приравнять два выражения для времени $ \tau $:

$ \frac{L}{v} = \frac{\tau_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $

Нам необходимо найти скорость $ v $. Для этого решим полученное уравнение. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ (\frac{L}{v})^2 = \frac{\tau_0^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} $

$ \frac{L^2}{v^2} = \frac{\tau_0^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} $

Выполним алгебраические преобразования, чтобы выразить $ v^2 $:

$ L^2(1 - \frac{v^2}{c^2}) = v^2 \tau_0^2 $

$ L^2 - \frac{L^2 v^2}{c^2} = v^2 \tau_0^2 $

Сгруппируем члены, содержащие $ v^2 $, в одной части уравнения:

$ L^2 = v^2 \tau_0^2 + \frac{L^2 v^2}{c^2} $

$ L^2 = v^2 (\tau_0^2 + \frac{L^2}{c^2}) $

Отсюда выражаем $ v^2 $:

$ v^2 = \frac{L^2}{\tau_0^2 + \frac{L^2}{c^2}} $

Умножим числитель и знаменатель на $ c^2 $, чтобы упростить выражение:

$ v^2 = \frac{L^2 c^2}{\tau_0^2 c^2 + L^2} $

Теперь найдем скорость $ v $, извлекая квадратный корень:

$ v = \sqrt{\frac{L^2 c^2}{\tau_0^2 c^2 + L^2}} = \frac{Lc}{\sqrt{\tau_0^2 c^2 + L^2}} $

Подставим в формулу заданные числовые значения:

$ v = \frac{20 \text{ м} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{\sqrt{(2.6 \cdot 10^{-8} \text{ с})^2 \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 + (20 \text{ м})^2}} $

Рассчитаем значение выражения под корнем в знаменателе:

$ \sqrt{((2.6 \cdot 10^{-8}) \cdot (3 \cdot 10^8))^2 + 20^2} = \sqrt{(7.8)^2 + 400} = \sqrt{60.84 + 400} = \sqrt{460.84} \approx 21.47 $

Теперь можем вычислить скорость:

$ v \approx \frac{60 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{21.47} \approx 2.795 \cdot 10^8 \text{ м/с} $

Округлим результат до двух значащих цифр, как в исходных данных.

$ v \approx 2.8 \cdot 10^8 \text{ м/с} $

Также можно выразить эту скорость в долях от скорости света:

$ \frac{v}{c} \approx \frac{2.8 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} \approx 0.93 $

Ответ:

Частица должна лететь со скоростью примерно $ 2.8 \cdot 10^8 $ м/с, что составляет около 93% от скорости света.