Номер 948, страница 131, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Элементы теории относительности. Постулаты теории относительности. Основные следствия. Связь между массой и энергией - номер 948, страница 131.

Условие.

948. [792] Частица летит со скоростью $0.5c$. Определите ошибку, которую мы сделаем, вычислив импульс частицы по законам классической механики.

Решение.

Дано:

Скорость частицы $v = 0.5c$, где $\text{c}$ - скорость света в вакууме.

Найти:

Относительную ошибку $\epsilon$, которую мы сделаем, вычислив импульс частицы по законам классической механики.

Решение:

Для решения задачи необходимо сравнить значение импульса, вычисленное по формуле классической механики, с точным значением, которое даёт релятивистская механика.

1. Импульс в классической механике.

Согласно законам классической механики, импульс ($p_{кл}$) частицы с массой покоя $m_0$ и скоростью $\text{v}$ равен:

$p_{кл} = m_0 v$

Подставим данное значение скорости $v = 0.5c$:

$p_{кл} = m_0 \cdot 0.5c = 0.5 m_0 c$

2. Импульс в релятивистской механике.

При скоростях, близких к скорости света, необходимо использовать формулу для релятивистского импульса ($p_{рел}$):

$p_{рел} = \frac{m_0 v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Подставим в эту формулу значение скорости $v = 0.5c$:

$p_{рел} = \frac{m_0 \cdot 0.5c}{\sqrt{1 - \frac{(0.5c)^2}{c^2}}} = \frac{0.5 m_0 c}{\sqrt{1 - \frac{0.25c^2}{c^2}}} = \frac{0.5 m_0 c}{\sqrt{1 - 0.25}} = \frac{0.5 m_0 c}{\sqrt{0.75}}$

Так как $\sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$p_{рел} = \frac{0.5 m_0 c}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1 \cdot m_0 c}{\sqrt{3}} = \frac{m_0 c}{\sqrt{3}}$

3. Вычисление ошибки.

Ошибку вычисления найдём как относительное отклонение классического значения от релятивистского (истинного), выраженное в процентах. Относительная ошибка $\epsilon$ равна:

$\epsilon = \frac{|p_{рел} - p_{кл}|}{p_{рел}}$

Так как $p_{рел} > p_{кл}$, то модуль можно убрать:

$\epsilon = \frac{p_{рел} - p_{кл}}{p_{рел}} = 1 - \frac{p_{кл}}{p_{рел}}$

Подставим полученные выражения для $p_{кл}$ и $p_{рел}$:

$\epsilon = 1 - \frac{0.5 m_0 c}{\frac{m_0 c}{\sqrt{3}}} = 1 - 0.5\sqrt{3} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь вычислим числовое значение, используя приближённое значение $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$\epsilon \approx 1 - \frac{1.732}{2} = 1 - 0.866 = 0.134$

Чтобы выразить ошибку в процентах, умножим полученное значение на 100%:

$\epsilon \approx 0.134 \cdot 100\% = 13.4\%$

Таким образом, расчёт по классической формуле даёт заниженное значение импульса на 13.4% по сравнению с точным релятивистским значением.

Ответ: Ошибка, которую мы сделаем, вычислив импульс частицы по законам классической механики, составляет примерно 13,4% (классический результат будет меньше истинного).