Номер 952, страница 131, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Элементы теории относительности. Постулаты теории относительности. Основные следствия. Связь между массой и энергией - номер 952, страница 131.

Условие.

952. [795] При движении тела его энергия изменилась в 1,25 раза. Определите скорость движения тела.

Решение.

Дано:

Отношение полной энергии тела к его энергии покоя: $ \frac{E}{E_0} = 1,25 $

Скорость света в вакууме: $ c \approx 3 \cdot 10^8 $ м/с

Найти:

Скорость движения тела $ v $.

Решение:

В специальной теории относительности полная энергия $ E $ движущегося тела связана с его массой покоя $ m $ и скоростью $ v $ через релятивистский фактор Лоренца $ \gamma $:

$ E = \gamma mc^2 $

Энергия покоя тела $ E_0 $ определяется формулой:

$ E_0 = mc^2 $

Таким образом, полную энергию можно выразить через энергию покоя:

$ E = \gamma E_0 $

Релятивистский фактор $ \gamma $ зависит от скорости тела $ v $ и скорости света $ c $:

$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $

Из условия задачи следует, что полная энергия тела в 1,25 раза больше его энергии покоя:

$ E = 1,25 E_0 $

Сравнивая два выражения для полной энергии, мы можем найти значение релятивистского фактора:

$ \gamma E_0 = 1,25 E_0 $

$ \gamma = 1,25 $

Теперь подставим это значение в формулу для $ \gamma $ и решим уравнение относительно скорости $ v $:

$ 1,25 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $

Для удобства представим 1,25 в виде дроби: $ 1,25 = \frac{5}{4} $.

$ \frac{5}{4} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}} $

$ \frac{25}{16} = \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}} $

Выразим из этого уравнения знаменатель $ (1 - \frac{v^2}{c^2}) $:

$ 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{16}{25} $

$ 1 - \frac{v^2}{c^2} = 0,64 $

Теперь выразим $ \frac{v^2}{c^2} $:

$ \frac{v^2}{c^2} = 1 - 0,64 $

$ \frac{v^2}{c^2} = 0,36 $

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$ \frac{v}{c} = \sqrt{0,36} $

$ \frac{v}{c} = 0,6 $

Отсюда находим скорость тела $ v $:

$ v = 0,6c $

Подставим значение скорости света $ c \approx 3 \cdot 10^8 $ м/с, чтобы найти численное значение скорости:

$ v = 0,6 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} = 1,8 \cdot 10^8 \text{ м/с} $

Ответ: скорость движения тела равна $ 0,6c $, что составляет $ 1,8 \cdot 10^8 $ м/с.