Номер 957, страница 132, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Оптика. Элементы теории относительности. Постулаты теории относительности. Основные следствия. Связь между массой и энергией - номер 957, страница 132.

Условие.

957. [800] Начальный импульс частицы равен нулю. На частицу массой $\text{m}$ начинает действовать сила $\text{F}$. Выразите зависимость скорости частицы от времени и покажите, что при сколь угодно большом значении времени действия силы скорость частицы не превысит скорость света.

Решение.

Дано

$p_0 = 0$ (начальный импульс)

$\text{m}$ (масса покоя частицы)

$\text{F}$ (постоянная сила)

$\text{t}$ (время)

$\text{c}$ (скорость света в вакууме)

Найти

1. Зависимость скорости от времени $v(t)$.

2. Показать, что $\text{v}$ не превысит $\text{c}$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона в релятивистской форме, который связывает силу $\text{F}$ и изменение релятивистского импульса $\text{p}$:

$F = \frac{dp}{dt}$

Релятивистский импульс частицы с массой покоя $\text{m}$ и скоростью $\text{v}$ определяется выражением:

$p = \frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Так как сила $\text{F}$ постоянна, мы можем проинтегрировать уравнение движения по времени от $\text{0}$ до $\text{t}$.

$\int_{p_0}^{p} dp = \int_0^t F dt$

Поскольку начальный импульс $p_0=0$, получаем:

$p = Ft$

Приравняем два выражения для импульса:

$\frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = Ft$

Теперь необходимо выразить скорость $\text{v}$ как функцию времени $\text{t}$. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{m^2v^2}{1 - v^2/c^2} = (Ft)^2$

Перенесем знаменатель в правую часть:

$m^2v^2 = (Ft)^2 (1 - \frac{v^2}{c^2})$

$m^2v^2 = (Ft)^2 - \frac{(Ft)^2 v^2}{c^2}$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $v^2$:

$m^2v^2 + \frac{(Ft)^2 v^2}{c^2} = (Ft)^2$

$v^2 (m^2 + \frac{(Ft)^2}{c^2}) = (Ft)^2$

$v^2 (\frac{m^2c^2 + (Ft)^2}{c^2}) = (Ft)^2$

Выразим $v^2$:

$v^2 = \frac{(Ft)^2 c^2}{m^2c^2 + (Ft)^2}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем искомую зависимость скорости частицы от времени:

$v(t) = \frac{Ftc}{\sqrt{m^2c^2 + (Ft)^2}}$

Теперь покажем, что при сколь угодно большом значении времени $\text{t}$ скорость частицы $\text{v}$ не превысит скорость света $\text{c}$.

Рассмотрим полученное выражение для $v(t)$:

$v(t) = c \cdot \frac{Ft}{\sqrt{m^2c^2 + (Ft)^2}}$

Значение подкоренного выражения в знаменателе $m^2c^2 + (Ft)^2$ всегда больше, чем $(Ft)^2$, так как масса покоя $\text{m}$ и скорость света $\text{c}$ не равны нулю, и, следовательно, $m^2c^2 > 0$.

Это означает, что $\sqrt{m^2c^2 + (Ft)^2} > \sqrt{(Ft)^2} = Ft$ (для $t>0$).

Следовательно, дробь $\frac{Ft}{\sqrt{m^2c^2 + (Ft)^2}}$ всегда строго меньше единицы для любого конечного времени $\text{t}$.

Таким образом, $v(t) < c$ при любом конечном $\text{t}$.

Чтобы увидеть поведение скорости при очень больших временах, найдем предел $v(t)$ при $t \t°\infty$:

$\lim_{t \t°\infty} v(t) = \lim_{t \t°\infty} \frac{Ftc}{\sqrt{m^2c^2 + (Ft)^2}}$

Разделим числитель и знаменатель на $Ft$:

$\lim_{t \t°\infty} v(t) = \lim_{t \t°\infty} \frac{c}{\frac{\sqrt{m^2c^2 + (Ft)^2}}{Ft}} = \lim_{t \t°\infty} \frac{c}{\sqrt{\frac{m^2c^2}{(Ft)^2} + 1}}$

При $t \t°\infty$, слагаемое $\frac{m^2c^2}{(Ft)^2}$ стремится к нулю. Тогда:

$\lim_{t \t°\infty} v(t) = \frac{c}{\sqrt{0 + 1}} = c$

Это показывает, что скорость частицы асимптотически приближается к скорости света, но никогда ее не достигает и не превышает при любом конечном времени действия силы.

Ответ: Зависимость скорости частицы от времени выражается формулой $v(t) = \frac{Ftc}{\sqrt{m^2c^2 + (Ft)^2}}$. При сколь угодно большом времени $\text{t}$ скорость частицы стремится к скорости света $\text{c}$, но никогда её не достигает и не превышает, так как для любого конечного $\text{t}$ выполняется неравенство $v(t) < c$.