Номер 963, страница 132, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Квантовая физика. Световые кванты. Фотоэффект. Фотоны. Корпускулярно-волновой дуализм - номер 963, страница 132.

Условие.

963. [806] Красная граница фотоэффекта для некоторого металла равна 700 нм. Отношение скоростей вылетающих электронов при освещении светом с длинами волн $\lambda_1$ и $\lambda_2$ равно $\frac{3}{4}$. Определите $\lambda_2$, если $\lambda_1 = 600$ нм.

Решение.

Дано:

$ \lambda_{красн} = 700 \text{ нм} = 700 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 7 \cdot 10^{-7} \text{ м} $
$ \lambda_1 = 600 \text{ нм} = 600 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 6 \cdot 10^{-7} \text{ м} $
$ \frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{4} $

Найти:

$ \lambda_2 $

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта:$ E = A_{вых} + E_k $, где $ E $ - энергия падающего фотона, $ A_{вых} $ - работа выхода электрона из металла, $ E_k $ - максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Энергия фотона связана с длиной волны света $ \lambda $ соотношением: $ E = \frac{hc}{\lambda} $, где $ h $ - постоянная Планка, $ c $ - скорость света в вакууме.

Работа выхода определяется красной границей фотоэффекта $ \lambda_{красн} $: $ A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_{красн}} $.

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона: $ E_k = \frac{m_e v^2}{2} $, где $ m_e $ - масса электрона, $ v $ - его скорость.

Запишем уравнение Эйнштейна для двух случаев освещения светом с длинами волн $ \lambda_1 $ и $ \lambda_2 $:

1. Для $ \lambda_1 $: $ \frac{hc}{\lambda_1} = A_{вых} + \frac{m_e v_1^2}{2} $

2. Для $ \lambda_2 $: $ \frac{hc}{\lambda_2} = A_{вых} + \frac{m_e v_2^2}{2} $

Подставим выражение для работы выхода в оба уравнения:

1. $ \frac{hc}{\lambda_1} = \frac{hc}{\lambda_{красн}} + \frac{m_e v_1^2}{2} \implies \frac{m_e v_1^2}{2} = hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_{красн}} \right) $

2. $ \frac{hc}{\lambda_2} = \frac{hc}{\lambda_{красн}} + \frac{m_e v_2^2}{2} \implies \frac{m_e v_2^2}{2} = hc \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_{красн}} \right) $

Разделим первое уравнение на второе:

$ \frac{\frac{m_e v_1^2}{2}}{\frac{m_e v_2^2}{2}} = \frac{hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_{красн}} \right)}{hc \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_{красн}} \right)} $

$ \left( \frac{v_1}{v_2} \right)^2 = \frac{\frac{\lambda_{красн} - \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_{красн}}}{\frac{\lambda_{красн} - \lambda_2}{\lambda_2 \lambda_{красн}}} = \frac{\lambda_{красн} - \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_{красн}} \cdot \frac{\lambda_2 \lambda_{красн}}{\lambda_{красн} - \lambda_2} = \frac{\lambda_2 (\lambda_{красн} - \lambda_1)}{\lambda_1 (\lambda_{красн} - \lambda_2)} $

Подставим известные значения. Так как в формулу входят отношения длин волн, можно проводить вычисления в нанометрах (нм).

$ \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{\lambda_2 (700 - 600)}{600 (700 - \lambda_2)} $

$ \frac{9}{16} = \frac{100 \lambda_2}{600 (700 - \lambda_2)} $

$ \frac{9}{16} = \frac{\lambda_2}{6 (700 - \lambda_2)} $

Применим свойство пропорции:

$ 9 \cdot 6 (700 - \lambda_2) = 16 \lambda_2 $

$ 54 (700 - \lambda_2) = 16 \lambda_2 $

$ 37800 - 54 \lambda_2 = 16 \lambda_2 $

$ 37800 = 16 \lambda_2 + 54 \lambda_2 $

$ 37800 = 70 \lambda_2 $

$ \lambda_2 = \frac{37800}{70} = \frac{3780}{7} = 540 \text{ нм} $

Ответ: $ \lambda_2 = 540 \text{ нм} $.