Номер 964, страница 133, часть 1 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 1. 11 класс. Квантовая физика. Световые кванты. Фотоэффект. Фотоны. Корпускулярно-волновой дуализм - номер 964, страница 133.

Условие.

964. [807] Максимальная скорость фотоэлектронов при освещении металла монохроматическим светом с длиной волны $400 \text{ нм}$ равна $8.2 \cdot 10^5 \text{ м/с}$, а при освещении того же металла монохроматическим светом с длиной волны $600 \text{ нм}$ она равна $5.5 \cdot 10^5 \text{ м/с}$. Вычислите значение постоянной Планка.

Решение.

Дано:

Длина волны 1: $\lambda_1 = 400$ нм

Максимальная скорость фотоэлектронов 1: $v_1 = 8,2 \cdot 10^5$ м/с

Длина волны 2: $\lambda_2 = 600$ нм

Максимальная скорость фотоэлектронов 2: $v_2 = 5,5 \cdot 10^5$ м/с

Масса электрона: $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг

Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в систему СИ:

$\lambda_1 = 400 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 4 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

$\lambda_2 = 600 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 6 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Постоянная Планка: $\text{h}$

Решение:

Для решения задачи используется уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, которое связывает энергию падающего фотона $E_{ф}$, работу выхода электрона из металла $A_{вых}$ и максимальную кинетическую энергию вылетевшего фотоэлектрона $E_к$:

$E_{ф} = A_{вых} + E_к$

Энергия фотона вычисляется по формуле $E_{ф} = \frac{hc}{\lambda}$, а максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона — по формуле $E_к = \frac{m_e v^2}{2}$.

Запишем уравнение Эйнштейна для двух случаев, описанных в условии. Поскольку в обоих случаях освещается один и тот же металл, работа выхода $A_{вых}$ будет одинаковой.

1. Для света с длиной волны $\lambda_1$ и скоростью фотоэлектронов $v_1$:

$\frac{hc}{\lambda_1} = A_{вых} + \frac{m_e v_1^2}{2} \quad (1)$

2. Для света с длиной волны $\lambda_2$ и скоростью фотоэлектронов $v_2$:

$\frac{hc}{\lambda_2} = A_{вых} + \frac{m_e v_2^2}{2} \quad (2)$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $\text{h}$ и $A_{вых}$. Чтобы найти $\text{h}$, исключим $A_{вых}$, вычтя из уравнения (1) уравнение (2):

$\frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_2} = \left(A_{вых} + \frac{m_e v_1^2}{2}\right) - \left(A_{вых} + \frac{m_e v_2^2}{2}\right)$

$\frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_2} = \frac{m_e v_1^2}{2} - \frac{m_e v_2^2}{2}$

Вынесем общие множители за скобки:

$hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right) = \frac{m_e}{2} (v_1^2 - v_2^2)$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$hc \left( \frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2} \right) = \frac{m_e}{2} (v_1^2 - v_2^2)$

Выразим из этого уравнения искомую постоянную Планка $\text{h}$:

$h = \frac{m_e (v_1^2 - v_2^2) \lambda_1 \lambda_2}{2c (\lambda_2 - \lambda_1)}$

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

$v_1^2 = (8,2 \cdot 10^5)^2 = 67,24 \cdot 10^{10} \text{ (м/с)}^2$

$v_2^2 = (5,5 \cdot 10^5)^2 = 30,25 \cdot 10^{10} \text{ (м/с)}^2$

$v_1^2 - v_2^2 = (67,24 - 30,25) \cdot 10^{10} = 36,99 \cdot 10^{10} \text{ (м/с)}^2$

$\lambda_2 - \lambda_1 = 6 \cdot 10^{-7} - 4 \cdot 10^{-7} = 2 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

$\lambda_1 \lambda_2 = (4 \cdot 10^{-7}) \cdot (6 \cdot 10^{-7}) = 24 \cdot 10^{-14} \text{ м}^2$

$h = \frac{(9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (36,99 \cdot 10^{10} \text{ (м/с)}^2) \cdot (24 \cdot 10^{-14} \text{ м}^2)}{2 \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot (2 \cdot 10^{-7} \text{ м})}$

$h = \frac{9,11 \cdot 36,99 \cdot 24 \cdot 10^{-31+10-14}}{12 \cdot 10^{8-7}} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

$h = \frac{8087,5 \cdot 10^{-35}}{12 \cdot 10^1} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

$h = \frac{8087,5}{120} \cdot 10^{-35} \approx 67,4 \cdot 10^{-35} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

$h \approx 6,74 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Ответ: $h \approx 6,74 \cdot 10^{-34}$ Дж·с.