Страница 29, часть 1 - гдз по математике 4 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

Сколько в числе всего тысяч? всего сотен? всего десятков? всего единиц?

В числе 2 846: всего 2 тысячи, всего 28 сотен, всего 284 десятков, всего 2 846 единиц.

Чтобы определить, сколько всего тысяч, сотен, десятков или единиц содержится в числе, нужно понимать разницу между значением цифры в определенном разряде и общим количеством этих разрядных единиц во всем числе. Разберем это на примере числа 2846, как показано на изображении.

Число 2846 можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:
$2846 = 2 \times 1000 + 8 \times 100 + 4 \times 10 + 6 \times 1$
Это значит, что в разряде тысяч стоит цифра 2, в разряде сотен — 8, в разряде десятков — 4, в разряде единиц — 6. Но вопрос "сколько всего" подразумевает подсчет всех единиц данного разряда, включая те, что содержатся в старших разрядах.

Сколько в числе всего тысяч?

Чтобы найти общее количество тысяч в числе, нужно посмотреть, сколько раз по 1000 "умещается" в этом числе. Для этого мы делим число на 1000 и берем только целую часть от результата. Простой способ — отбросить три последние цифры числа (разряды сотен, десятков и единиц).

В числе 2846, отбросив 846, мы получаем 2.
Математически это выглядит так: $2846 \div 1000 = 2$ (остаток 846).
Ответ: в числе 2846 всего 2 тысячи.

Сколько в числе всего сотен?

Чтобы найти общее количество сотен, нужно разделить число на 100 и взять целую часть. Простой способ — отбросить две последние цифры (разряды десятков и единиц). В каждой тысяче содержится 10 сотен, поэтому мы должны учесть и их.

В числе 2846: 2 тысячи — это $2 \times 10 = 20$ сотен. Прибавим к ним 8 сотен из разряда сотен: $20 + 8 = 28$ сотен.
Проще: отбросив 46 от числа 2846, получаем 28.
Математически: $2846 \div 100 = 28$ (остаток 46).
Ответ: в числе 2846 всего 28 сотен.

Сколько в числе всего десятков?

Чтобы найти общее количество десятков, нужно разделить число на 10 и взять целую часть. Простой способ — отбросить последнюю цифру (разряд единиц). В каждой тысяче 100 десятков, а в каждой сотне — 10 десятков.

В числе 2846: 2 тысячи — это $2 \times 100 = 200$ десятков, 8 сотен — это $8 \times 10 = 80$ десятков. Добавим 4 десятка из разряда десятков: $200 + 80 + 4 = 284$ десятка.
Проще: отбросив 6 от числа 2846, получаем 284.
Математически: $2846 \div 10 = 284$ (остаток 6).
Ответ: в числе 2846 всего 284 десятка.

Сколько в числе всего единиц?

Общее количество единиц в любом числе равно самому этому числу, так как число и показывает, сколько единиц оно содержит.

В числе 2846 содержится 2846 единиц.
Математически: $2846 \div 1 = 2846$.
Ответ: в числе 2846 всего 2846 единиц.

138. Рассмотри числа.

В каких из этих чисел показано, сколько всего в числе десятков? сотен? тысяч?

138. Число десятков показано в числах – 3 845, 67349.

Число сотен показано в числах – 56 018, 375 274.

Число тысяч показано в числе – 370 843.

Чтобы определить, сколько всего десятков, сотен или тысяч в числе, нужно посмотреть, какая часть числа выделена дугой. Выделенная часть показывает общее количество соответствующего разряда, если отбросить цифры, стоящие правее.

десятков
Общее количество десятков в числе можно найти, отбросив последнюю цифру (разряд единиц). Дуга показывает общее число десятков в двух числах:

• В числе 3 845 дугой выделено 384. Это означает, что в числе 3 845 всего 384 десятка. Проверка: $384 \times 10 + 5 = 3845$.
• В числе 67 349 дугой выделено 6734. Это означает, что в числе 67 349 всего 6734 десятка. Проверка: $6734 \times 10 + 9 = 67349$.

Ответ: в числах 3 845 и 67 349.

сотен
Общее количество сотен в числе можно найти, отбросив две последние цифры (разряды единиц и десятков). Дуга показывает общее число сотен в двух числах:

• В числе 56 018 дугой выделено 560. Это означает, что в числе 56 018 всего 560 сотен. Проверка: $560 \times 100 + 18 = 56018$.
• В числе 375 274 дугой выделено 3752. Это означает, что в числе 375 274 всего 3752 сотни. Проверка: $3752 \times 100 + 74 = 375274$.

Ответ: в числах 56 018 и 375 274.

тысяч
Общее количество тысяч в числе можно найти, отбросив три последние цифры (разряды единиц, десятков и сотен). Дуга показывает общее число тысяч в одном числе:

• В числе 370 843 дугой выделено 370. Это означает, что в числе 370 843 всего 370 тысяч. Проверка: $370 \times 1000 + 843 = 370843$.

Ответ: в числе 370 843.

139. 300 · 100 : 10
900 · 10 : 100
(3 870 − 870) + (2 170 + 30) : 10
7 900 : 100 + (4 800 + 200) · 100

139. Пояснение:

Вспомним правило, чтобы числа увеличить в 10 раз, в 100 раз, достаточно справа приписать 1 нуль, 2 нуля. Чтобы числа уменьшить в 10 раз, в 100 раз, достаточно отбросить 1 нуль, 2 нуля.

$300\underset{30000}{\overset{1}{·}}100 \stackrel{2}{:} 10 = 3 000$

$900\underset{9000}{\overset{1}{·}}10 \stackrel{2}{:} 100 = 90$

$(3 870\underset{3000}{\overset{1}{-}}870) \stackrel{4}{+} (2 170\underset{2200}{\overset{2}{+}}30)\underset{220}{\overset{3}{:}}10 = 3 220$

$7 900 \underset{79}{\overset{2}{:}}100 \stackrel{4}{+} (4 800\underset{5000}{\overset{1}{+}}200)\underset{500000}{\overset{3}{·}}100 = 500 079$

$300 \cdot 100 : 10$
Решим пример по действиям. Так как умножение и деление имеют одинаковый приоритет, выполняем их по порядку слева направо.
1. Первое действие: умножение.
$300 \cdot 100 = 30000$
2. Второе действие: деление.
$30000 : 10 = 3000$
Ответ: 3000

$900 \cdot 10 : 100$
Решим пример по действиям. Умножение и деление выполняются по порядку слева направо.
1. Первое действие: умножение.
$900 \cdot 10 = 9000$
2. Второе действие: деление.
$9000 : 100 = 90$
Ответ: 90

$(3870 - 870) + (2170 + 30) : 10$
Решим пример по действиям, соблюдая порядок: сначала действия в скобках, затем деление, и в конце сложение.
1. Первое действие в скобках: вычитание.
$3870 - 870 = 3000$
2. Второе действие в скобках: сложение.
$2170 + 30 = 2200$
3. Третье действие: деление.
$2200 : 10 = 220$
4. Четвертое действие: сложение.
$3000 + 220 = 3220$
Ответ: 3220

$7900 : 100 + (4800 + 200) \cdot 100$
Решим пример по действиям, соблюдая порядок: сначала действие в скобках, затем деление и умножение (слева направо), и в конце сложение.
1. Первое действие в скобках: сложение.
$4800 + 200 = 5000$
2. Второе действие: деление.
$7900 : 100 = 79$
3. Третье действие: умножение.
$5000 \cdot 100 = 500000$
4. Четвертое действие: сложение.
$79 + 500000 = 500079$
Ответ: 500079

140.

140. Вспомним:

Чтобы найти произведение чисел, надо умножить числа между собой.

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно значение произведения разделить на известный множитель.

Чтобы найти частное чисел, надо разделить одно число на другое.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Заполняем таблицу.

Задача состоит в заполнении пустых ячеек в двух таблицах. Для этого необходимо выполнить соответствующие арифметические действия для каждого столбца, используя известные значения.

Левая таблица (умножение)

В этой таблице ищутся недостающие компоненты действия умножения: множители ($a$, $b$) и произведение ($a \cdot b$).

В столбце, где известны множители $a = 90$ и $b = 7$, требуется найти их произведение.
Выполним умножение: $90 \cdot 7 = 630$.
Ответ: 630.

В столбце, где известен один множитель $b = 8$ и произведение $a \cdot b = 560$, требуется найти второй множитель $a$. Для этого необходимо разделить произведение на известный множитель.
Выполним деление: $a = 560 : 8 = 70$.
Ответ: 70.

В столбце, где известен один множитель $a = 100$ и произведение $a \cdot b = 900$, требуется найти второй множитель $b$. Для этого разделим произведение на известный множитель.
Выполним деление: $b = 900 : 100 = 9$.
Ответ: 9.

Правая таблица (деление)

В этой таблице ищутся недостающие компоненты действия деления: делимое ($c$), делитель ($d$) и частное ($c : d$).

В столбце, где известны делимое $c = 490$ и делитель $d = 7$, требуется найти частное.
Выполним деление: $c : d = 490 : 7 = 70$.
Ответ: 70.

В столбце, где известен делитель $d = 9$ и частное $c : d = 60$, требуется найти делимое $c$. Для этого необходимо умножить частное на делитель.
Выполним умножение: $c = 60 \cdot 9 = 540$.
Ответ: 540.

В столбце, где известно делимое $c = 500$ и частное $c : d = 5$, требуется найти делитель $d$. Для этого необходимо разделить делимое на частное.
Выполним деление: $d = 500 : 5 = 100$.
Ответ: 100.

141. В клубе 2 кружка юных техников, по 15 человек в каждом, 3 кружка рукоделия, по 10 человек в каждом, и 2 кружка рисования, по 12 человек в каждом.

Объясни, что обозначают выражения.

15 · 2 10 · 3 10 · 3 − 12 · 2 15 · 2 + 10 · 3

141. Выражение 15 ∙ 2 обозначает количество человек в кружке юных техников.

Выражение 10 ∙ 3 обозначает количество человек в кружке рукоделия.

Выражение 10 ∙ 3 − 12 ∙ 2 обозначает, на сколько больше человек в кружке рукоделия, чем в кружке рисования.

Выражение 15 ∙ 2 + 10 ∙ 3 обозначает общее количество человек двух кружках юных техников и рукоделия.

Для того чтобы объяснить значение каждого выражения, сначала разберем данные из условия задачи:

• Кружки юных техников: 2 кружка, в каждом по 15 человек.
• Кружки рукоделия: 3 кружка, в каждом по 10 человек.
• Кружки рисования: 2 кружка, в каждом по 12 человек.

15 · 2

Это выражение является произведением двух чисел: 15 и 2.
Число 15 — это количество человек в одном кружке юных техников.
Число 2 — это количество кружков юных техников.
Чтобы найти, сколько всего человек занимается в кружках юных техников, нужно количество человек в одном кружке умножить на количество таких кружков.
$15 \cdot 2 = 30$ (человек).
Таким образом, это выражение обозначает общее количество человек, занимающихся в кружках юных техников.
Ответ: общее количество человек во всех кружках юных техников.

10 · 3

Это выражение — произведение чисел 10 и 3.
Число 10 — это количество человек в одном кружке рукоделия.
Число 3 — это количество кружков рукоделия.
Произведение этих чисел дает общее количество человек, занимающихся в кружках рукоделия.
$10 \cdot 3 = 30$ (человек).
Таким образом, это выражение обозначает общее количество человек, занимающихся в кружках рукоделия.
Ответ: общее количество человек во всех кружках рукоделия.

10 · 3 – 12 · 2

Это выражение является разностью двух произведений.
Первое произведение, $10 \cdot 3$, как мы уже выяснили, обозначает общее количество человек в кружках рукоделия ($30$ человек).
Второе произведение, $12 \cdot 2$, обозначает общее количество человек в кружках рисования (12 человек в каждом из 2 кружков). $12 \cdot 2 = 24$ (человека).
Разность этих двух величин показывает, на сколько человек в кружках рукоделия больше, чем в кружках рисования.
$30 - 24 = 6$ (человек).
Ответ: на сколько человек больше занимается в кружках рукоделия, чем в кружках рисования.

15 · 2 + 10 · 3

Это выражение является суммой двух произведений.
Первое произведение, $15 \cdot 2$, — это общее количество человек в кружках юных техников ($30$ человек).
Второе произведение, $10 \cdot 3$, — это общее количество человек в кружках рукоделия ($30$ человек).
Сумма этих двух величин показывает, сколько всего человек занимается в кружках юных техников и рукоделия вместе.
$30 + 30 = 60$ (человек).
Ответ: общее количество человек, занимающихся в кружках юных техников и рукоделия вместе.

142. Контролёр за 10 мин проверяет 50 деталей. Сколько деталей он проверит за 1 ч, если будет проверять по столько же деталей в минуту?

142. Составим таблицу по условию задачи.

Пояснение:

Вспомним соотношение К₁ К ОК.

Чтобы найти общее количество деталей, которое проверит контролёр за 1 ч (ОК), нужно количество деталей, которое проверит контролёр за минуту (К₁) умножить на количество минут (К).

Но мы не знаем, сколько деталей проверит контролёр за минуту. Это найдём из первой строчки таблицы.

Чтобы найти количество деталей, которое проверит контролёр за минуту (К₁), нужно общее количество деталей (ОК) разделить на количество минут (К).

Выразим 1 ч в минутах:
1 ч = 60 мин

Решение записываем в тетрадь (жирный шрифт):

1) 50 : 10 = 5 (д.) – проверяет за 1 минуту.
2) 5 ∙ 60 = 300 (д.)
Ответ: 300 деталей проверяет за один час.

Это же решение задачи можно записать в виде выражения:

50 : 10 ∙ 60 = 300 (д.)
Ответ: 300 деталей проверяет за один час.

Для решения данной задачи необходимо выполнить два основных действия: сначала найти производительность контролёра (сколько деталей он проверяет за одну минуту), а затем умножить это значение на количество минут в одном часе.

1. Находим производительность контролёра.

По условию, контролёр проверяет 50 деталей за 10 минут. Чтобы узнать, сколько деталей он проверяет за одну минуту, нужно разделить общее количество деталей на затраченное время:

$50 \text{ деталей} \div 10 \text{ минут} = 5 \text{ деталей в минуту}$

Таким образом, производительность контролёра составляет 5 деталей в минуту.

2. Находим количество деталей, проверенных за 1 час.

В задаче требуется найти количество деталей за 1 час. Поскольку мы знаем производительность в минутах, переведём 1 час в минуты:

$1 \text{ час} = 60 \text{ минут}$

Теперь умножим производительность контролёра на количество минут в часе, чтобы найти общее количество деталей:

$5 \frac{\text{деталей}}{\text{минуту}} \times 60 \text{ минут} = 300 \text{ деталей}$

Ответ: за 1 час контролёр проверит 300 деталей.

143. Из двух одинаковых прямоугольников со сторонами 4 см и 6 см сложи один прямоугольник. Рассмотри различные решения и сравни: 1) площади полученных прямоугольников; 2) их периметры.

143. 1 способ складывания прямоугольника.

2 способ складывания прямоугольника.

Рассмотрим решения:

Для решения напомним:

Чтобы найти периметр, нужно найти сумму всех сторон (у прямоугольника сумму длины и ширины умножить на2, так как у него противоположные стороны равны).

Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно ширину умножить на длину.

Решение записываем в тетрадь (жирный шрифт):

1 способ:
1) 4 + 4 = 8 (см) – длина прямоугольника.
2) (8 + 6) ∙ 2 = 28 (см) – периметр прямоугольника.
3) 8 ∙ 6 = 48 (см² ) – площадь прямоугольника.

2 способ:
1) 6 + 6 = 12 (см) – длина прямоугольника.
2) (12 + 4) ∙ 2 = 32 (см) – периметр прямоугольника.
3) 12 ∙ 4 = 48 (см² ) – площадь прямоугольника.

Сравним площади и периметр полученных прямоугольников.

1) Сравним площади:
48 см² = 48 см² .
Вывод: Площади прямоугольников равны.

2) Сравним периметры:
32 см > 28 см.
Вывод: Периметр первого прямоугольника больше, чем периметр второго прямоугольника.

У нас есть два одинаковых прямоугольника со сторонами 4 см и 6 см. Чтобы сложить из них один новый прямоугольник, мы можем приложить их друг к другу по равным сторонам. Существует два возможных варианта.

Вариант 1: Приложить прямоугольники друг к другу по большей стороне (6 см). В этом случае длина нового прямоугольника останется 6 см, а ширина станет суммой ширин двух исходных прямоугольников: $4 \text{ см} + 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$. Получится прямоугольник со сторонами 8 см и 6 см.

Вариант 2: Приложить прямоугольники друг к другу по меньшей стороне (4 см). В этом случае ширина нового прямоугольника останется 4 см, а его длина станет суммой длин двух исходных прямоугольников: $6 \text{ см} + 6 \text{ см} = 12 \text{ см}$. Получится прямоугольник со сторонами 12 см и 4 см.

Теперь сравним их площади и периметры.

1) площади полученных прямоугольников

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ – длины его сторон.

• Площадь для Варианта 1 (прямоугольник 8 см ? 6 см):
  $S_1 = 8 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 48 \text{ см}^2$
• Площадь для Варианта 2 (прямоугольник 12 см ? 4 см):
  $S_2 = 12 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 48 \text{ см}^2$

Сравнивая полученные значения, мы видим, что $S_1 = S_2 = 48 \text{ см}^2$. Это ожидаемо, так как площадь фигуры, составленной из нескольких частей, равна сумме площадей этих частей. Площадь одного исходного прямоугольника была $4 \cdot 6 = 24 \text{ см}^2$, а двух — $24 \cdot 2 = 48 \text{ см}^2$.

Ответ: площади полученных прямоугольников равны.

2) их периметры

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ и $b$ – длины его сторон.

• Периметр для Варианта 1 (прямоугольник 8 см ? 6 см):
  $P_1 = 2 \cdot (8 \text{ см} + 6 \text{ см}) = 2 \cdot 14 \text{ см} = 28 \text{ см}$
• Периметр для Варианта 2 (прямоугольник 12 см ? 4 см):
  $P_2 = 2 \cdot (12 \text{ см} + 4 \text{ см}) = 2 \cdot 16 \text{ см} = 32 \text{ см}$

Сравнивая полученные значения, мы видим, что $P_1 \ne P_2$. Периметр первого прямоугольника (28 см) меньше периметра второго (32 см).

Ответ: периметры полученных прямоугольников не равны. Периметр прямоугольника со сторонами 8 см и 6 см равен 28 см, а периметр прямоугольника со сторонами 12 см и 4 см равен 32 см.

$900 \stackrel{\mathit{2}}{-} 688 \stackrel{\mathit{1}}{:} 4 = 728$

$(900 \stackrel{\mathit{1}}{-} 688) \stackrel{\mathit{2}}{:} 4 = 728$

$369 \stackrel{\mathit{1}}{·} 2 \stackrel{\mathit{2}}{:} 3 = 246$

$328 \stackrel{\mathit{1}}{·} 3 \stackrel{\mathit{2}}{:} 8 = 123$

$(90 \underset{\mathit{150}}{\overset{\mathit{1}}{+}} 60) \underset{\mathit{750}}{\overset{\mathit{2}}{·}} 5 \stackrel{\mathit{3}}{·} 0 = 0$

$660 \stackrel{\mathit{3}}{-} 60 \underset{\mathit{10}}{\overset{\mathit{1}}{:}} 6 \underset{\mathit{10}}{\overset{\mathit{5}}{·}} 1 = 650$

900 - 688 : 4
Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняется деление, а затем вычитание.
1) Выполняем деление: $688 : 4 = 172$.
2) Выполняем вычитание: $900 - 172 = 728$.
Таким образом, $900 - 688 : 4 = 728$.
Ответ: 728

(900 - 688) : 4
Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняется действие в скобках, а затем деление.
1) Выполняем вычитание в скобках: $900 - 688 = 212$.
2) Выполняем деление: $212 : 4 = 53$.
Таким образом, $(900 - 688) : 4 = 53$.
Ответ: 53

369 · 2 : 3
Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому действия выполняются по порядку слева направо.
1) Выполняем умножение: $369 \cdot 2 = 738$.
2) Выполняем деление: $738 : 3 = 246$.
Таким образом, $369 \cdot 2 : 3 = 246$.
Ответ: 246

328 · 3 : 8
Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому действия выполняются по порядку слева направо.
1) Выполняем умножение: $328 \cdot 3 = 984$.
2) Выполняем деление: $984 : 8 = 123$.
Таким образом, $328 \cdot 3 : 8 = 123$.
Ответ: 123

(90 + 60) · 5 · 0
Сначала выполняется действие в скобках, а затем умножение.
1) Выполняем сложение в скобках: $90 + 60 = 150$.
2) Выражение принимает вид: $150 \cdot 5 \cdot 0$.
3) При умножении любого числа на ноль результат равен нулю. $150 \cdot 5 = 750$, а $750 \cdot 0 = 0$.
Таким образом, $(90 + 60) \cdot 5 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0

660 - 60 : 6 · 1
Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняются деление и умножение (слева направо), а затем вычитание.
1) Выполняем деление: $60 : 6 = 10$.
2) Выполняем умножение: $10 \cdot 1 = 10$.
3) Выполняем вычитание: $660 - 10 = 650$.
Таким образом, $660 - 60 : 6 \cdot 1 = 650$.
Ответ: 650

145.

30 999 + 1 10 000 − 1 25 909 + 1 100 000 − 1

145.

$30 999 + 1$

Чтобы найти сумму, мы выполняем сложение в столбик или устно, начиная с разряда единиц.
1. Складываем единицы: $9 + 1 = 10$. Пишем $0$ в разряд единиц и запоминаем (переносим) $1$ в разряд десятков.
2. Складываем десятки: $9 + 1$ (перенос) $= 10$. Пишем $0$ в разряд десятков и переносим $1$ в разряд сотен.
3. Складываем сотни: $9 + 1$ (перенос) $= 10$. Пишем $0$ в разряд сотен и переносим $1$ в разряд единиц тысяч.
4. Складываем единицы тысяч: $0 + 1$ (перенос) $= 1$. Пишем $1$ в разряд единиц тысяч.
5. Разряд десятков тысяч остается без изменений: $3$.
Соединив цифры, получаем число $31 000$.
Также можно заметить, что $30 999$ — это число, предшествующее числу $31 000$. Прибавление единицы дает следующее по счету число.

Ответ: $31 000$.

$10 000 - 1$

Чтобы найти разность, мы должны вычесть $1$ из $10 000$. Это означает, что нам нужно найти число, которое предшествует числу $10 000$.
Выполним вычитание в столбик:
1. В разряде единиц у нас $0$, вычесть $1$ мы не можем, поэтому нужно "занять" у старших разрядов.
2. Десятки, сотни и тысячи тоже равны нулю. Занимаем $1$ у разряда десятков тысяч.
3. После заёма $1$ из десятков тысяч ($10 000$) превращается в $0$ десятков тысяч и $10$ единиц тысяч. Затем $10$ единиц тысяч превращаются в $9$ единиц тысяч и $10$ сотен, и так далее до разряда единиц.
В итоге у нас получается:
- В разряде единиц: $10 - 1 = 9$.
- В разряде десятков: $9 - 0 = 9$.
- В разряде сотен: $9 - 0 = 9$.
- В разряде единиц тысяч: $9 - 0 = 9$.
В результате получаем $9 999$.

Ответ: $9 999$.

$25 909 + 1$

Чтобы найти сумму, мы прибавляем $1$ к числу $25 909$.
1. Складываем единицы: $9 + 1 = 10$. Пишем $0$ в разряд единиц и переносим $1$ в разряд десятков.
2. Складываем десятки: $0 + 1$ (перенос) $= 1$. Пишем $1$ в разряд десятков.
3. Остальные разряды (сотни, тысячи, десятки тысяч) не меняются.
Таким образом, мы получаем число $25 910$.

Ответ: $25 910$.

$100 000 - 1$

Чтобы найти разность, мы должны найти число, предшествующее числу $100 000$.
Действуем так же, как и в примере с $10 000 - 1$. Мы "занимаем" у старшего разряда до тех пор, пока не дойдем до единиц.
1. Занимаем $1$ у разряда сотен тысяч.
2. Все разряды, кроме единиц, становятся равными $9$.
3. В разряде единиц у нас получается $10$.
4. Выполняем вычитание: $10 - 1 = 9$.
В результате все нули заменяются на девятки, и мы получаем число $99 999$.

Ответ: $99 999$.

146. Найди уравнение и реши его.

146. Вспомним:

Уравнение – это равенство с одной или несколькими неизвестными величинами.

х ∙ 3 = 42 – это уравнение.

Решение уравнения записываем в тетрадь:

Найти уравнение
В задании даны четыре записи: $x \cdot 2 < 20$, $15 \cdot 3 = 45$, $x \cdot 5$ и $x \cdot 3 = 42$.
Уравнение — это равенство, которое содержит неизвестную величину (переменную), которую нужно найти. Проанализируем каждую запись:

• $x \cdot 2 < 20$ — это неравенство, так как в нем используется знак "меньше" ($<$).

• $15 \cdot 3 = 45$ — это верное числовое равенство, но оно не содержит переменной, поэтому не является уравнением, которое нужно решать.

• $x \cdot 5$ — это математическое выражение с переменной, но не равенство, поэтому это не уравнение.

• $x \cdot 3 = 42$ — это равенство, содержащее переменную $x$. Следовательно, это и есть искомое уравнение.

Решить его
Теперь решим найденное уравнение: $x \cdot 3 = 42$.
В данном уравнении переменная $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение (42) разделить на известный множитель (3).
$x = 42 : 3$
Выполним деление:
$x = 14$
Чтобы убедиться в правильности решения, выполним проверку. Подставим найденное значение $x=14$ в исходное уравнение:
$14 \cdot 3 = 42$
$42 = 42$
Так как равенство верное, корень уравнения найден правильно.

Ответ: уравнение $x \cdot 3 = 42$, его решение $x = 14$.

Задание внизу страницы 29.

90 100 − 1 40 000 − 1 39 099 + 1 699 999 + 1

Задание внизу страницы 29.

Пояснение

Прибавить к числу 1 - назвать следующее за ним число. Вычесть из числа 1 - назвать предыдущее число.

Решение записываем в тетрадь:

90 100 − 1 = 90 099 40 000 − 1 = 39 999 39 099 + 1 = 39 100 699 999 + 1 = 700 000

90 100 – 1
Чтобы найти разность, можно представить число 90 100 в виде суммы $90 000 + 100$. Теперь вычитание становится проще:
$90 100 - 1 = (90 000 + 100) - 1 = 90 000 + (100 - 1) = 90 000 + 99 = 90 099$.
Другой способ — вычитание в столбик. При вычитании 1 из 0 в разряде единиц, мы "занимаем" у старших разрядов. Так как в десятках тоже 0, занимаем у сотен. 1 сотня превращается в 10 десятков, а 1 десяток — в 10 единиц.
- В разряде единиц: $10 - 1 = 9$.
- В разряде десятков остается 9.
- В разряде сотен, откуда мы заняли, остается 0.
Остальные разряды не меняются. Результат — 90 099.
Ответ: 90 099

40 000 – 1
Для решения этого примера удобно представить число 40 000 как $39 999 + 1$. Тогда вычисление выглядит следующим образом:
$40 000 - 1 = (39 999 + 1) - 1 = 39 999 + (1 - 1) = 39 999$.
При вычитании в столбик мы занимаем единицу у 4 в разряде десятков тысяч. Эта единица последовательно "проходит" через все разряды, превращая нули в девятки, пока не дойдет до разряда единиц, где станет десяткой.
- В разряде единиц: $10 - 1 = 9$.
- В разрядах десятков, сотен и тысяч остаются девятки.
- В разряде десятков тысяч остается 3.
Результат — 39 999.
Ответ: 39 999

39 099 + 1
При сложении 39 099 и 1 мы начинаем с крайнего правого разряда — разряда единиц.
1. Складываем единицы: $9 + 1 = 10$. Пишем 0 в итоговом числе в разряде единиц и запоминаем 1 для переноса в следующий разряд (десятки).
2. Складываем десятки: $9 + 1$ (перенос) $= 10$. Снова пишем 0 в разряде десятков и переносим 1 в разряд сотен.
3. Складываем сотни: $0 + 1$ (перенос) $= 1$. Пишем 1 в разряде сотен.
4. В старших разрядах (тысячи и десятки тысяч) изменений нет, так как переноса не было. Они остаются 9 и 3 соответственно.
Объединив цифры, получаем $39 100$.
Ответ: 39 100

699 999 + 1
Этот пример решается аналогично предыдущему, но с большим количеством переносов.
1. Единицы: $9 + 1 = 10$. Пишем 0, переносим 1.
2. Десятки: $9 + 1$ (перенос) $= 10$. Пишем 0, переносим 1.
3. Сотни: $9 + 1$ (перенос) $= 10$. Пишем 0, переносим 1.
4. Тысячи: $9 + 1$ (перенос) $= 10$. Пишем 0, переносим 1.
5. Десятки тысяч: $9 + 1$ (перенос) $= 10$. Пишем 0, переносим 1.
6. Сотни тысяч: $6 + 1$ (перенос) $= 7$. Пишем 7.
В результате все девятки превращаются в нули, а цифра 6 увеличивается на 1. Получаем $700 000$.
Ответ: 700 000

Чтобы число разделилось без остатка на 100, в его записи на конце должно быть хотя бы два нуля. Например, числа 200, 1500, 4000 делятся на 100 без остатка.

1)

Задание: выполнить деление с остатком $87 : 10$ и сделать проверку.

Решение из условия: $87 : 10 = 8$ (ост. $7$).

Проверка решения: чтобы проверить деление с остатком, нужно частное умножить на делитель и к результату прибавить остаток. Если полученное число равно делимому, то деление выполнено верно.

В данном случае делимое — 87, делитель — 10, частное — 8, остаток — 7.

Выполним проверку: $8 \times 10 + 7 = 80 + 7 = 87$.

Так как $87 = 87$, деление выполнено верно.

Ответ: $8 \times 10 + 7 = 87$.

2)

Задание: выполнить деление с остатком $356 : 100$ и сделать проверку.

Решение из условия: $356 : 100 = 3$ (ост. $56$).

Проверка решения: по аналогии с предыдущим примером, умножим частное на делитель и прибавим остаток.

Делимое — 356, делитель — 100, частное — 3, остаток — 56.

Выполним проверку: $3 \times 100 + 56 = 300 + 56 = 356$.

Так как $356 = 356$, деление выполнено верно.

Ответ: $3 \times 100 + 56 = 356$.

При делении целого числа на 10 с остатком, неполным частным будет число, полученное отбрасыванием последней цифры делимого, а остатком — сама последняя цифра.
Для числа 69:

• Отбрасываем последнюю цифру (9) и получаем неполное частное: 6.
• Последняя цифра (9) является остатком.

Проверим: $6 \times 10 + 9 = 60 + 9 = 69$.
Ответ: 6 (ост. 9).

Используем то же правило, что и в предыдущем примере.
Для числа 78:

• Неполное частное: 7.
• Остаток: 8.

Проверим: $7 \times 10 + 8 = 70 + 8 = 78$.
Ответ: 7 (ост. 8).

При делении числа 238 на 10:

• Отбрасываем последнюю цифру (8) и получаем неполное частное: 23.
• Последняя цифра (8) является остатком.

Проверим: $23 \times 10 + 8 = 230 + 8 = 238$.
Ответ: 23 (ост. 8).

При делении целого числа на 100 с остатком, неполным частным будет число, полученное отбрасыванием двух последних цифр делимого, а остатком — число, образованное этими двумя цифрами.
Для числа 238:

• Отбрасываем две последние цифры (38) и получаем неполное частное: 2.
• Число, образованное двумя последними цифрами (38), является остатком.

Проверим: $2 \times 100 + 38 = 200 + 38 = 238$.
Ответ: 2 (ост. 38).

При делении числа 691 на 100:

• Неполное частное (отбрасываем 91): 6.
• Остаток (две последние цифры): 91.

Проверим: $6 \times 100 + 91 = 600 + 91 = 691$.
Ответ: 6 (ост. 91).

При делении числа 691 на 10:

• Неполное частное (отбрасываем 1): 69.
• Остаток (последняя цифра): 1.

Проверим: $69 \times 10 + 1 = 690 + 1 = 691$.
Ответ: 69 (ост. 1).

При делении числа 7 825 на 100:

• Неполное частное (отбрасываем 25): 78.
• Остаток (две последние цифры): 25.

Проверим: $78 \times 100 + 25 = 7800 + 25 = 7825$.
Ответ: 78 (ост. 25).

При делении целого числа на 1 000 с остатком, неполным частным будет число, полученное отбрасыванием трех последних цифр делимого, а остатком — число, образованное этими тремя цифрами.
Для числа 7 825:

• Неполное частное (отбрасываем 825): 7.
• Остаток (три последние цифры): 825.

Проверим: $7 \times 1000 + 825 = 7000 + 825 = 7825$.
Ответ: 7 (ост. 825).

94. Двигаясь с одинаковой скоростью, легковая машина прошла 6 км за 5 мин. Какое расстояние она пройдёт с той же скоростью за 40 мин? за 1 ч?

Чтобы решить эту задачу, нам сначала нужно найти скорость автомобиля. Скорость постоянна, поэтому мы можем вычислить ее на основе данных, что машина прошла 6 км за 5 минут. Формула скорости: $v = \frac{s}{t}$, где $v$ — скорость, $s$ — расстояние, $t$ — время.

1. Находим скорость машины:

$v = \frac{6 \text{ км}}{5 \text{ мин}} = 1,2$ км/мин.

Теперь, зная скорость, мы можем рассчитать расстояние для любого заданного времени.

Какое расстояние она пройдёт с той же скоростью за 40 мин?

Используем формулу расстояния $s = v \times t$.

Время движения $t = 40$ мин.

Расстояние $s = 1,2 \text{ км/мин} \times 40 \text{ мин} = 48$ км.

Также можно решить с помощью пропорции:

Если за 5 минут машина проезжает 6 км, то за 40 минут она проедет в $40 \div 5 = 8$ раз большее расстояние.

$6 \text{ км} \times 8 = 48$ км.

Ответ: за 40 минут машина пройдёт 48 км.

Какое расстояние она пройдёт с той же скоростью за 1 ч?

Сначала переведем часы в минуты, чтобы единицы измерения были одинаковыми.

$1 \text{ ч} = 60$ мин.

Теперь используем ту же формулу расстояния $s = v \times t$.

Время движения $t = 60$ мин.

Расстояние $s = 1,2 \text{ км/мин} \times 60 \text{ мин} = 72$ км.

Решение с помощью пропорции:

За 60 минут машина проедет в $60 \div 5 = 12$ раз большее расстояние, чем за 5 минут.

$6 \text{ км} \times 12 = 72$ км.

Ответ: за 1 час машина пройдёт 72 км.

95. В мастерской в первый день сшили 19 одинаковых рюкзаков, во второй − 23 таких рюкзака. На все эти рюкзаки пошло 84 м ткани. Сколько метров ткани расходовали каждый день?

1. Найдем общее количество рюкзаков, сшитых за два дня.
Для этого необходимо сложить количество рюкзаков, сшитых в первый и во второй день.
$19 + 23 = 42$ (рюкзака) - всего сшили за два дня.

2. Определим расход ткани на один рюкзак.
Поскольку все рюкзаки одинаковые, разделим общее количество израсходованной ткани на общее количество сшитых рюкзаков.
$84 \div 42 = 2$ (метра) - ткани уходит на пошив одного рюкзака.

3. Рассчитаем, сколько метров ткани израсходовали в первый день.
Умножим количество рюкзаков, сшитых в первый день, на расход ткани на один рюкзак.
$19 \times 2 = 38$ (метров) - ткани израсходовали в первый день.

4. Рассчитаем, сколько метров ткани израсходовали во второй день.
Умножим количество рюкзаков, сшитых во второй день, на расход ткани на один рюкзак.
$23 \times 2 = 46$ (метров) - ткани израсходовали во второй день.

Ответ: в первый день израсходовали 38 метров ткани, а во второй — 46 метров.

96. Сколько раз по 100 м содержится в 2 км?
Сколько раз по 15 с содержится в 1 мин?
Сколько раз по 12 мин содержится в 1 ч?

Сколько раз по 100 м содержится в 2 км?
Для решения этой задачи необходимо привести обе величины к одной единице измерения. Переведем километры в метры. Известно, что в одном километре содержится 1000 метров.
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$
Следовательно, 2 километра равны:
$2 \text{ км} = 2 \times 1000 \text{ м} = 2000 \text{ м}$
Теперь, чтобы узнать, сколько раз по 100 метров содержится в 2000 метрах, выполним деление:
$2000 \div 100 = 20$
Ответ: 20 раз.

Сколько раз по 15 с содержится в 1 мин?
Для решения этой задачи необходимо перевести минуты в секунды. В одной минуте содержится 60 секунд.
$1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$
Теперь разделим общее количество секунд на 15 секунд, чтобы узнать, сколько раз по 15 секунд содержится в одной минуте:
$60 \div 15 = 4$
Ответ: 4 раза.

Сколько раз по 12 мин содержится в 1 ч?
Для решения этой задачи необходимо перевести часы в минуты. В одном часе содержится 60 минут.
$1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$
Теперь разделим общее количество минут на 12 минут, чтобы узнать, сколько раз по 12 минут содержится в одном часе:
$60 \div 12 = 5$
Ответ: 5 раз.

97. Составь по задачам уравнения и реши их.

1) Если из неизвестного числа вычесть 20, то получится произведение чисел 40 и 6. Найди неизвестное число.

2) Если к 15 прибавить неизвестное число, то получится частное чисел 800 и 20. Найди неизвестное число.

1) Если из неизвестного числа вычесть 20, то получится произведение чисел 40 и 6. Найди неизвестное число.

Чтобы решить эту задачу, составим уравнение. Пусть неизвестное число — это $x$.
Согласно условию, разность неизвестного числа и 20 равна произведению 40 и 6. Запишем это в виде уравнения:
$x - 20 = 40 \cdot 6$
Сначала вычислим правую часть уравнения — произведение чисел:
$40 \cdot 6 = 240$
Теперь наше уравнение выглядит так:
$x - 20 = 240$
В этом уравнении $x$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое:
$x = 240 + 20$
$x = 260$
Проверим наше решение: $260 - 20 = 240$. Произведение $40 \cdot 6$ также равно 240. Уравнение решено верно.
Ответ: 260.

2) Если к 15 прибавить неизвестное число, то получится частное чисел 800 и 20. Найди неизвестное число.

Составим уравнение для второй задачи. Пусть неизвестное число — это $y$.
По условию, сумма 15 и неизвестного числа равна частному от деления 800 на 20. Запишем уравнение:
$15 + y = 800 : 20$
Сначала вычислим правую часть уравнения — частное чисел:
$800 : 20 = 40$
Теперь уравнение принимает следующий вид:
$15 + y = 40$
В этом уравнении $y$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
$y = 40 - 15$
$y = 25$
Проверим решение: $15 + 25 = 40$. Частное $800 : 20$ также равно 40. Уравнение решено верно.
Ответ: 25.

98.

Чтобы заполнить таблицу, необходимо последовательно вычислить значение выражения $840 : c$ для каждого значения переменной $c$, указанного в верхней строке.

При c = 10

Подставим значение $c=10$ в выражение и выполним деление:

$840 : 10 = 84$

Ответ: 84

При c = 20

Подставим значение $c=20$ в выражение. Деление на 20 можно представить как последовательное деление на 10 и на 2:

$840 : 20 = 840 : (10 \cdot 2) = (840 : 10) : 2 = 84 : 2 = 42$

Ответ: 42

При c = 30

Подставим значение $c=30$ в выражение. Для удобства можно сначала разделить на 10, а затем на 3:

$840 : 30 = 84 : 3 = (60 + 24) : 3 = 20 + 8 = 28$

Ответ: 28

При c = 40

Подставим значение $c=40$ в выражение. Разделим 840 на 10, а затем на 4:

$840 : 40 = 84 : 4 = (80 + 4) : 4 = 20 + 1 = 21$

Ответ: 21

При c = 60

Подставим значение $c=60$ в выражение. Разделим 840 на 10, а затем на 6:

$840 : 60 = 84 : 6 = (60 + 24) : 6 = 10 + 4 = 14$

Ответ: 14

При c = 70

Подставим значение $c=70$ в выражение. Разделим 840 на 10, а затем на 7:

$840 : 70 = 84 : 7 = (70 + 14) : 7 = 10 + 2 = 12$

Ответ: 12

В результате, заполненная таблица выглядит следующим образом:

180 : 20

Чтобы решить этот пример, разделим 180 на 20. Для упрощения можно убрать по одному нулю у делимого и делителя.

$180 : 20 = 18 : 2 = 9$

Ответ: 9

1 800 : 200

Чтобы решить этот пример, разделим 1 800 на 200. Для упрощения можно убрать по два нуля у делимого и делителя.

$1 800 : 200 = 18 : 2 = 9$

Ответ: 9

450 : 50

Разделим 450 на 50. Для упрощения можно убрать по одному нулю.

$450 : 50 = 45 : 5 = 9$

Ответ: 9

4 500 : 500

Разделим 4 500 на 500. Для упрощения можно убрать по два нуля.

$4 500 : 500 = 45 : 5 = 9$

Ответ: 9

400 000 ? 702 ? 50 : 100

Решим пример, соблюдая порядок действий: сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем вычитание.

1. Первое действие – умножение: $702 \cdot 50 = 35 100$.

2. Второе действие – деление: $35 100 : 100 = 351$.

3. Третье действие – вычитание: $400 000 - 351 = 399 649$.

Полное решение: $400 000 - 702 \cdot 50 : 100 = 400 000 - 35 100 : 100 = 400 000 - 351 = 399 649$.

Ответ: 399 649

190 ? 200 + (32 148 ? 16)

Решим пример, соблюдая порядок действий: сначала выполняется действие в скобках, затем умножение, и в конце – сложение.

1. Первое действие – вычитание в скобках: $32 148 - 16 = 32 132$.

2. Второе действие – умножение: $190 \cdot 200 = 38 000$.

3. Третье действие – сложение: $38 000 + 32 132 = 70 132$.

Полное решение: $190 \cdot 200 + (32 148 - 16) = 38 000 + 32 132 = 70 132$.

Ответ: 70 132

ЦЕПОЧКА:

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить все математические операции, указанные в цепочке, начиная с числа 630.

Шаг 1: Деление на 70

Первое действие — разделить начальное число 630 на 70.

$630 : 70 = 9$

Шаг 2: Умножение на 30

Результат первого шага, число 9, умножаем на 30.

$9 \cdot 30 = 270$

Шаг 3: Вычитание 89

Из полученного числа 270 вычитаем 89.

$270 - 89 = 181$

Шаг 4: Сложение с 29

К результату предыдущего шага, числу 181, прибавляем 29.

$181 + 29 = 210$

Шаг 5: Деление на 3

Полученное число 210 делим на 3.

$210 : 3 = 70$

Шаг 6: Сложение с 30

К числу 70 прибавляем 30, чтобы найти окончательный результат.

$70 + 30 = 100$

Ответ: 100

Найди частное и остаток.

54 : 10 96 : 100

Чтобы найти частное и остаток при делении, нужно определить, сколько раз делитель (10) полностью помещается в делимом (54), и какая часть при этом останется.
Общая формула деления с остатком: $a = b \cdot q + r$, где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — частное, а $r$ — остаток, причем остаток всегда меньше делителя ($0 \le r < b$).

1. Найдём наибольшее число, которое при умножении на 10 даст результат, не превышающий 54.
$10 \cdot 5 = 50$
$10 \cdot 6 = 60$ (это уже больше 54)
Следовательно, неполное частное равно 5.

2. Теперь найдём остаток. Для этого вычтем из делимого (54) произведение делителя (10) на частное (5):
$r = 54 - (10 \cdot 5) = 54 - 50 = 4$
Остаток равен 4.

3. Проверим, что остаток (4) меньше делителя (10). Условие $4 < 10$ выполняется.

Ответ: частное 5, остаток 4.

Применим тот же подход. Здесь делимое $a=96$, а делитель $b=100$.

1. Найдём наибольшее целое число, которое при умножении на 100 даст результат, не превышающий 96.
Поскольку делимое (96) меньше делителя (100), делитель не помещается в делимом ни одного полного раза.
$100 \cdot 0 = 0$
$100 \cdot 1 = 100$ (это больше 96)
Следовательно, частное равно 0.

2. Найдём остаток:
$r = 96 - (100 \cdot 0) = 96 - 0 = 96$
Остаток равен 96.

3. Проверим, что остаток (96) меньше делителя (100). Условие $96 < 100$ выполняется.

Ответ: частное 0, остаток 96.