Номер 777, страница 199 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 4. Обыкновенные дроби. Параграф 29. Смешанные числа. Упражнения - номер 777, страница 199.

Условие.

777. Вычислите:

1) $6\frac{4}{9} + 3\frac{5}{9};$

2) $10\frac{11}{19} + 5\frac{14}{19};$

3) $2\frac{3}{13} + 2\frac{11}{13};$

4) $1\frac{5}{8} + 3\frac{7}{8};$

5) $1 - \frac{3}{11};$

6) $1 - \frac{13}{40};$

7) $4 - 1\frac{4}{7};$

8) $10 - 9\frac{3}{10};$

9) $5\frac{2}{7} - 2\frac{5}{7};$

10) $14\frac{6}{20} - 8\frac{12}{20};$

11) $8\frac{3}{14} - 5\frac{9}{14};$

12) $7\frac{10}{21} - 4\frac{16}{21};$

13) $14\frac{8}{31} - 6\frac{8}{31};$

14) $\left(12\frac{5}{22} + 7\frac{17}{22}\right) - \left(13\frac{7}{23} - 9\frac{15}{23}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Чтобы сложить смешанные числа с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их целые части и их дробные части по отдельности.
Складываем целые части: $6 + 3 = 9$.
Складываем дробные части: $\frac{4}{9} + \frac{5}{9} = \frac{4+5}{9} = \frac{9}{9} = 1$.
Складываем полученные результаты: $9 + 1 = 10$.
$6\frac{4}{9} + 3\frac{5}{9} = (6+3) + (\frac{4}{9} + \frac{5}{9}) = 9 + 1 = 10$.
Ответ: $10$.

2)

Складываем целые и дробные части по отдельности.
$10\frac{11}{19} + 5\frac{14}{19} = (10+5) + (\frac{11}{19} + \frac{14}{19}) = 15 + \frac{11+14}{19} = 15 + \frac{25}{19}$.
Дробная часть $\frac{25}{19}$ является неправильной дробью. Выделим из нее целую часть: $\frac{25}{19} = 1\frac{6}{19}$.
Прибавим эту часть к целой части суммы: $15 + 1\frac{6}{19} = 16\frac{6}{19}$.
Ответ: $16\frac{6}{19}$.

3)

Складываем целые и дробные части.
$2\frac{3}{13} + 2\frac{11}{13} = (2+2) + (\frac{3}{13} + \frac{11}{13}) = 4 + \frac{3+11}{13} = 4 + \frac{14}{13}$.
Выделяем целую часть из неправильной дроби $\frac{14}{13}$: $\frac{14}{13} = 1\frac{1}{13}$.
Складываем результаты: $4 + 1\frac{1}{13} = 5\frac{1}{13}$.
Ответ: $5\frac{1}{13}$.

4)

Складываем целые и дробные части.
$1\frac{5}{8} + 3\frac{7}{8} = (1+3) + (\frac{5}{8} + \frac{7}{8}) = 4 + \frac{5+7}{8} = 4 + \frac{12}{8}$.
Сокращаем и выделяем целую часть из дроби $\frac{12}{8}$: $\frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Складываем результаты: $4 + 1\frac{1}{2} = 5\frac{1}{2}$.
Ответ: $5\frac{1}{2}$.

5)

Представим число 1 в виде дроби со знаменателем 11: $1 = \frac{11}{11}$.
Выполним вычитание: $1 - \frac{3}{11} = \frac{11}{11} - \frac{3}{11} = \frac{11-3}{11} = \frac{8}{11}$.
Ответ: $\frac{8}{11}$.

6)

Представим число 1 в виде дроби со знаменателем 40: $1 = \frac{40}{40}$.
Выполним вычитание: $1 - \frac{13}{40} = \frac{40}{40} - \frac{13}{40} = \frac{40-13}{40} = \frac{27}{40}$.
Ответ: $\frac{27}{40}$.

7)

Чтобы вычесть смешанное число из целого, "займем" единицу у целого числа и представим ее в виде дроби с нужным знаменателем.
$4 = 3 + 1 = 3 + \frac{7}{7} = 3\frac{7}{7}$.
Теперь вычитаем: $3\frac{7}{7} - 1\frac{4}{7} = (3-1) + (\frac{7}{7} - \frac{4}{7}) = 2 + \frac{3}{7} = 2\frac{3}{7}$.
Ответ: $2\frac{3}{7}$.

8)

"Займем" единицу у 10 и представим ее в виде дроби $\frac{10}{10}$.
$10 = 9 + 1 = 9\frac{10}{10}$.
Выполним вычитание: $9\frac{10}{10} - 9\frac{3}{10} = (9-9) + (\frac{10-3}{10}) = 0 + \frac{7}{10} = \frac{7}{10}$.
Ответ: $\frac{7}{10}$.

9)

Дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{7}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{5}{7}$). "Займем" единицу у целой части 5.
$5\frac{2}{7} = 4 + 1 + \frac{2}{7} = 4 + \frac{7}{7} + \frac{2}{7} = 4\frac{9}{7}$.
Теперь вычитаем: $4\frac{9}{7} - 2\frac{5}{7} = (4-2) + (\frac{9}{7} - \frac{5}{7}) = 2 + \frac{4}{7} = 2\frac{4}{7}$.
Ответ: $2\frac{4}{7}$.

10)

Дробная часть уменьшаемого ($\frac{6}{20}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{12}{20}$). "Займем" единицу у целой части 14.
$14\frac{6}{20} = 13 + 1 + \frac{6}{20} = 13 + \frac{20}{20} + \frac{6}{20} = 13\frac{26}{20}$.
Вычитаем: $13\frac{26}{20} - 8\frac{12}{20} = (13-8) + (\frac{26}{20} - \frac{12}{20}) = 5 + \frac{14}{20}$.
Сокращаем дробную часть: $\frac{14}{20} = \frac{7}{10}$.
Результат: $5\frac{7}{10}$.
Ответ: $5\frac{7}{10}$.

11)

Дробная часть уменьшаемого ($\frac{3}{14}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{9}{14}$). "Займем" единицу у целой части 8.
$8\frac{3}{14} = 7 + 1 + \frac{3}{14} = 7 + \frac{14}{14} + \frac{3}{14} = 7\frac{17}{14}$.
Вычитаем: $7\frac{17}{14} - 5\frac{9}{14} = (7-5) + (\frac{17-9}{14}) = 2 + \frac{8}{14}$.
Сокращаем дробь: $\frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.
Результат: $2\frac{4}{7}$.
Ответ: $2\frac{4}{7}$.

12)

Дробная часть уменьшаемого ($\frac{10}{21}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{16}{21}$). "Займем" единицу у целой части 7.
$7\frac{10}{21} = 6 + 1 + \frac{10}{21} = 6 + \frac{21}{21} + \frac{10}{21} = 6\frac{31}{21}$.
Вычитаем: $6\frac{31}{21} - 4\frac{16}{21} = (6-4) + (\frac{31-16}{21}) = 2 + \frac{15}{21}$.
Сокращаем дробь: $\frac{15}{21} = \frac{5}{7}$.
Результат: $2\frac{5}{7}$.
Ответ: $2\frac{5}{7}$.

13)

Вычитаем целые и дробные части по отдельности.
$14\frac{8}{31} - 6\frac{8}{31} = (14-6) + (\frac{8}{31} - \frac{8}{31}) = 8 + 0 = 8$.
Ответ: $8$.

14)

Решаем по действиям, сначала в скобках.
1) Вычисляем первую скобку:
$12\frac{5}{22} + 7\frac{17}{22} = (12+7) + (\frac{5}{22} + \frac{17}{22}) = 19 + \frac{22}{22} = 19 + 1 = 20$.
2) Вычисляем вторую скобку:
$13\frac{7}{23} - 9\frac{15}{23}$. "Занимаем" единицу у 13: $13\frac{7}{23} = 12\frac{23+7}{23} = 12\frac{30}{23}$.
$12\frac{30}{23} - 9\frac{15}{23} = (12-9) + (\frac{30-15}{23}) = 3 + \frac{15}{23} = 3\frac{15}{23}$.
3) Вычитаем результат второго действия из результата первого:
$20 - 3\frac{15}{23}$. "Занимаем" единицу у 20: $20 = 19\frac{23}{23}$.
$19\frac{23}{23} - 3\frac{15}{23} = (19-3) + (\frac{23-15}{23}) = 16 + \frac{8}{23} = 16\frac{8}{23}$.
Ответ: $16\frac{8}{23}$.