Номер 1248, страница 275 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел II. Дробные числа и действия над ними. Глава 5. Десятичные дроби. Параграф 44. Сравнение десятичных дробей. Упражнения - номер 1248, страница 275.

Условие.

1248. Какие цифры можно поставить вместо звёздочек, чтобы образовалось верное неравенство (в правой и левой частях неравенства звёздочкой обозначена одна и та же цифра):

1) $0,*2 > 0,4*;$

2) $2,5* < 2,*6;$

3) $0,7*5 < 0,*69;$

4) $0,6* > 0,7*;$

5) $0,*6 < 0,6*;$

6) $0,*6 > 0,6*?$

Решение.

Решение 2.

1) 0,*2 > 0,4*

Обозначим неизвестную цифру, которую нужно поставить вместо звёздочки, через $x$. Тогда неравенство примет вид: $0,x2 > 0,4x$.
Для сравнения десятичных дробей сначала сравниваем их целые части. В данном случае они равны нулю. Далее сравниваем цифры в разряде десятых. Чтобы неравенство было верным, цифра в разряде десятых левого числа ($x$) должна быть больше или равна цифре в разряде десятых правого числа (4).
Рассмотрим случай, когда $x > 4$. В этом случае неравенство будет верным независимо от цифр в следующих разрядах. Например, если $x=5$, получаем $0,52 > 0,45$, что верно.
Рассмотрим случай, когда $x = 4$. Неравенство принимает вид $0,42 > 0,44$. Так как цифры в разряде десятых равны, сравниваем цифры в разряде сотых. Поскольку $2 < 4$, неравенство $0,42 > 0,44$ является ложным.
Рассмотрим случай, когда $x < 4$. В этом случае неравенство заведомо будет неверным.
Таким образом, подходят все цифры, которые больше 4.
Ответ: 5, 6, 7, 8, 9.

2) 2,5* < 2,*6

Пусть неизвестная цифра — $x$. Неравенство: $2,5x < 2,x6$.
Целые части чисел равны (2). Сравниваем цифры в разряде десятых: 5 и $x$.
Чтобы неравенство было верным, цифра 5 должна быть меньше или равна цифре $x$.
Если $x > 5$, то левое число будет меньше правого. Например, при $x=6$ получаем $2,56 < 2,66$, что верно. Значит, подходят цифры 6, 7, 8, 9.
Если $x = 5$, неравенство принимает вид $2,55 < 2,56$. Сравниваем цифры в разряде сотых: $5 < 6$. Неравенство верное. Значит, цифра 5 тоже подходит.
Если $x < 5$, то левое число будет больше правого (например, $2,54 < 2,46$ — ложь).
Следовательно, подходят цифры 5, 6, 7, 8, 9.
Ответ: 5, 6, 7, 8, 9.

3) 0,7*5 < 0,*69

Пусть неизвестная цифра — $x$. Неравенство: $0,7x5 < 0,x69$.
Целые части чисел равны (0). Сравниваем цифры в разряде десятых: 7 и $x$.
Чтобы неравенство было верным, цифра 7 должна быть меньше или равна цифре $x$.
Если $x > 7$, то левое число будет меньше правого. Например, при $x=8$ получаем $0,785 < 0,869$, что верно. Значит, подходят цифры 8, 9.
Если $x = 7$, неравенство принимает вид $0,775 < 0,769$. Сравниваем цифры в разряде сотых: $7 > 6$. Значит, на самом деле $0,775 > 0,769$. Неравенство неверное.
Следовательно, подходят только цифры, которые строго больше 7.
Ответ: 8, 9.

4) 0,6* > 0,7*

Пусть неизвестная цифра — $x$. Неравенство: $0,6x > 0,7x$.
Целые части чисел равны (0). Сравниваем цифры в разряде десятых: 6 и 7.
Поскольку $6 < 7$, любое число вида $0,6x$ всегда будет меньше любого числа вида $0,7x$, независимо от цифры $x$ в разряде сотых.
Следовательно, не существует такой цифры, при которой это неравенство было бы верным.
Ответ: нет таких цифр.

5) 0,*6 < 0,6*

Пусть неизвестная цифра — $x$. Неравенство: $0,x6 < 0,6x$.
Целые части чисел равны (0). Сравниваем цифры в разряде десятых: $x$ и 6.
Чтобы неравенство было верным, цифра $x$ должна быть меньше или равна 6.
Если $x < 6$, то левое число будет меньше правого. Например, при $x=5$ получаем $0,56 < 0,65$, что верно. Значит, подходят цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Если $x = 6$, неравенство принимает вид $0,66 < 0,66$. Это неверно, так как числа равны, а неравенство строгое.
Следовательно, подходят только цифры, которые строго меньше 6.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

6) 0,*6 > 0,6*?

Предположим, что знак вопроса в конце — это опечатка и вместо него должна быть звёздочка. Тогда неравенство выглядит так: $0,*6 > 0,6*$.
Пусть неизвестная цифра — $x$. Неравенство: $0,x6 > 0,6x$.
Целые части чисел равны (0). Сравниваем цифры в разряде десятых: $x$ и 6.
Чтобы неравенство было верным, цифра $x$ должна быть больше или равна 6.
Если $x > 6$, то левое число будет больше правого. Например, при $x=7$ получаем $0,76 > 0,67$, что верно. Значит, подходят цифры 7, 8, 9.
Если $x = 6$, неравенство принимает вид $0,66 > 0,66$. Это неверно, так как числа равны, а неравенство строгое.
Следовательно, подходят только цифры, которые строго больше 6.
Ответ: 7, 8, 9.