Номер 2, страница 225 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 37. Приведение дробей к общему знаменателю.Сравнение дробей с разными знаменателями. Глава 4. Обыкновенные дроби. Раздел II. Дробные числа и действия над ними - номер 2, страница 225.

2. Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю?

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ), необходимо выполнить алгоритм, состоящий из трёх шагов. Наименьший общий знаменатель — это наименьшее число, которое делится на знаменатель каждой из дробей без остатка. Это число равно наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей.

1. Нахождение наименьшего общего знаменателя

Сначала нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей исходных дробей. Для этого:

• Разложите знаменатели на простые множители.
• Составьте произведение из всех простых множителей, которые встречаются хотя бы в одном из разложений, взяв каждый множитель с наибольшим показателем степени.

Полученное число и будет наименьшим общим знаменателем (НОЗ).

2. Определение дополнительных множителей

Для каждой дроби найдите свой дополнительный множитель. Он вычисляется путем деления наименьшего общего знаменателя (НОЗ) на знаменатель этой дроби.

3. Преобразование дробей

Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель. В результате вы получите дроби, равные исходным, но с одинаковым наименьшим общим знаменателем.

Пример

Приведём дроби $ \frac{7}{12} $ и $ \frac{5}{18} $ к наименьшему общему знаменателю.

Решение:

1. Находим НОЗ для знаменателей 12 и 18.

Разложим их на простые множители:

$ 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 $

$ 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2 $

Чтобы найти НОК, берём каждый простой множитель ($2$ и $3$) в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях ($2^2$ и $3^2$), и перемножаем их:

НОЗ = НОК(12, 18) = $ 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36 $.

2. Находим дополнительные множители.

Для дроби $ \frac{7}{12} $ дополнительный множитель равен $ 36 \div 12 = 3 $.

Для дроби $ \frac{5}{18} $ дополнительный множитель равен $ 36 \div 18 = 2 $.

3. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

$ \frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36} $

$ \frac{5}{18} = \frac{5 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{10}{36} $

Дроби приведены к наименьшему общему знаменателю 36.

Ответ: $ \frac{21}{36} $ и $ \frac{10}{36} $.