Страница 58 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

1. Распределите числа $- \frac{18}{5}$; $-7$; $7$; $0$; $4,2$; $13$; $-100$; $\frac{1}{2}$ по следующим строкам (каждое число может попасть более чем в одну строку):

натуральные числа:

целые числа:

рациональные числа:

натуральные числа: Натуральные числа — это числа, которые используются для счета предметов ($1, 2, 3, \dots$). Они должны быть целыми и положительными. Проанализируем данный набор чисел: $-\frac{18}{5}$; $-7$; $7$; $0$; $4,2$; $13$; $-100$; $\frac{1}{2}$.
Число $7$ является целым и положительным, следовательно, это натуральное число.
Число $13$ также является целым и положительным, значит, это натуральное число.
Остальные числа не являются натуральными: $-7$ и $-100$ — отрицательные; $0$ по стандартному определению не относится к натуральным числам; $-\frac{18}{5}$, $4,2$ и $\frac{1}{2}$ — нецелые (дробные) числа.
Ответ: $7$; $13$.

целые числа: Целые числа — это множество, включающее натуральные числа, число ноль и числа, противоположные натуральным ($ \dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots $). Они не имеют дробной части. Из предложенного списка выберем те, что соответствуют этому определению:
Числа $7$ и $13$ являются натуральными, а значит и целыми.
Числа $-7$ и $-100$ являются целыми отрицательными числами.
Число $0$ также является целым.
Числа $-\frac{18}{5} = -3,6$, $4,2$ и $\frac{1}{2} = 0,5$ имеют дробную часть, поэтому не являются целыми.
Ответ: $-7$; $7$; $0$; $13$; $-100$.

рациональные числа: Рациональное число — это любое число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Это множество включает в себя все целые числа, конечные десятичные дроби и обыкновенные дроби.
Рассмотрим все числа из списка:
$-\frac{18}{5}$ — это уже дробь, рациональное число.
$-7$ можно представить как $-\frac{7}{1}$.
$7$ можно представить как $\frac{7}{1}$.
$0$ можно представить как $\frac{0}{1}$.
$4,2$ можно представить как $\frac{42}{10}$.
$13$ можно представить как $\frac{13}{1}$.
$-100$ можно представить как $-\frac{100}{1}$.
$\frac{1}{2}$ — это дробь.
Следовательно, все числа в исходном списке являются рациональными.
Ответ: $-\frac{18}{5}$; $-7$; $7$; $0$; $4,2$; $13$; $-100$; $\frac{1}{2}$.

2. Представьте в виде рационального числа $p/q$ (где $p$ — целое число, $q$ — натуральное число) данное число:

a) $5 = \frac{5}{\text{___}};$

б) $0 = \frac{0}{3} = \frac{0}{\text{___}};$

в) $-7 = \frac{\text{___}}{\text{___}};$

г) $-0,47 = \frac{-47}{\text{___}};$

д) $2,4 = \frac{24}{\text{___}} = \frac{\text{___}}{\text{___}};$

е) $1\frac{8}{9} = \frac{\text{___}}{9}.$

а) Любое целое число можно представить в виде дроби, если записать это число в числитель, а в знаменатель поставить 1.
$5 = \frac{5}{1}$
Здесь $p=5$ (целое число), а $q=1$ (натуральное число).
Ответ: $\frac{5}{1}$.

б) Число 0 можно представить в виде дроби с числителем 0 и любым натуральным числом в знаменателе. В задании уже дан пример $0 = \frac{0}{3}$. По аналогии можно записать и другие дроби, например:
$0 = \frac{0}{1}$
Здесь $p=0$ (целое число), а $q=1$ (натуральное число).
Ответ: $\frac{0}{1}$.

в) Отрицательное целое число, как и положительное, можно представить в виде дроби со знаменателем 1.
$-7 = \frac{-7}{1}$
Здесь $p=-7$ (целое число), а $q=1$ (натуральное число).
Ответ: $\frac{-7}{1}$.

г) Десятичная дробь -0,47 читается как "минус сорок семь сотых". Это соответствует обыкновенной дроби, где в числителе стоит -47, а в знаменателе - 100.
$-0,47 = \frac{-47}{100}$
Здесь $p=-47$ (целое число), а $q=100$ (натуральное число).
Ответ: $\frac{-47}{100}$.

д) Для преобразования десятичной дроби 2,4 в обыкновенную, запишем в числитель число без запятой (24), а в знаменатель — 1 и столько нулей, сколько цифр после запятой (один ноль, т.е. 10).
$2,4 = \frac{24}{10}$
Полученную дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для 24 и 10 это 2. Разделим на него числитель и знаменатель:
$\frac{24}{10} = \frac{24 \div 2}{10 \div 2} = \frac{12}{5}$
Таким образом, полное равенство выглядит так: $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.
Ответ: $\frac{24}{10}$ и $\frac{12}{5}$.

е) Чтобы преобразовать смешанное число $1\frac{8}{9}$ в неправильную дробь, нужно целую часть (1) умножить на знаменатель (9) и к результату прибавить числитель (8). Это будет новый числитель. Знаменатель остается тем же.
$1\frac{8}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{9 + 8}{9} = \frac{17}{9}$
Здесь $p=17$ (целое число), а $q=9$ (натуральное число).
Ответ: $\frac{17}{9}$.

3. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной:

а) $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} = 0,\text{_}\text{_}$

б) $\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot \text{_}}{5 \cdot 2} = \frac{\text{_}}{10} = \text{_}$

в) $\frac{3}{4} = \frac{3}{2 \cdot 2} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 5}{(2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5)} = \frac{\text{_}}{10 \cdot 10} = \text{_}$

г) $\frac{7}{25} = \frac{7}{5 \cdot 5} = \frac{7 \cdot \text{_}}{5 \cdot \text{_} \cdot 5} = \text{_}$

д) $\frac{13}{20} = \frac{13}{2 \cdot 2 \cdot 5} = \frac{13 \cdot \text{_}}{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \text{_}} = \text{_}$

е) $\frac{19}{40} = \frac{19}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5} = \text{_}$

Для того чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, необходимо привести ее знаменатель к числу, являющемуся степенью десяти (10, 100, 1000 и т.д.). Это достигается путем умножения числителя и знаменателя на одно и то же число. Цель состоит в том, чтобы в разложении знаменателя на простые множители количество двоек и пятерок было одинаковым.

а)

Чтобы в знаменателе дроби $\frac{1}{2}$ получить 10, необходимо умножить его на 5. Соответственно, числитель также умножаем на 5.

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} = 0,5$

Ответ: 0,5

б)

Чтобы в знаменателе дроби $\frac{4}{5}$ получить 10, необходимо умножить его на 2. Числитель также умножаем на 2.

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{8}{10} = 0,8$

Ответ: 0,8

в)

Знаменатель дроби $\frac{3}{4}$ равен $2 \cdot 2$. Чтобы получить степень десяти (100), нам не хватает двух пятерок. Умножаем числитель и знаменатель на $5 \cdot 5 = 25$.

$\frac{3}{4} = \frac{3}{2 \cdot 2} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 5}{(2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5)} = \frac{75}{10 \cdot 10} = \frac{75}{100} = 0,75$

Ответ: 0,75

г)

Знаменатель дроби $\frac{7}{25}$ равен $5 \cdot 5$. Чтобы получить в знаменателе 100, нам не хватает двух двоек. Умножаем числитель и знаменатель на $2 \cdot 2 = 4$.

$\frac{7}{25} = \frac{7}{5 \cdot 5} = \frac{7 \cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{28}{100} = 0,28$

Ответ: 0,28

д)

Знаменатель дроби $\frac{13}{20}$ раскладывается на множители как $2 \cdot 2 \cdot 5$. У нас две двойки и одна пятерка. Чтобы получить в знаменателе 100, не хватает одной пятерки. Умножаем числитель и знаменатель на 5.

$\frac{13}{20} = \frac{13}{2 \cdot 2 \cdot 5} = \frac{13 \cdot 5}{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{65}{100} = 0,65$

Ответ: 0,65

е)

Знаменатель дроби $\frac{19}{40}$ раскладывается на множители как $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$. У нас три двойки и одна пятерка. Чтобы получить в знаменателе 1000, не хватает двух пятерок. Умножаем числитель и знаменатель на $5 \cdot 5 = 25$.

$\frac{19}{40} = \frac{19}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5} = \frac{19 \cdot (5 \cdot 5)}{(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5)} = \frac{475}{1000} = 0,475$

Ответ: 0,475