Страница 59 - гдз по математике 6 класс рабочая тетрадь Ткачева

4. Сократите обыкновенную дробь и представьте её в виде десятичной:

а) $ \frac{9}{150} = \frac{9:3}{150:3} = \frac{3}{50} = \frac{3 \cdot \text{\hrulefill}}{50 \cdot 2} = \frac{\text{\hrulefill}}{100} = 0, \text{\hrulefill} $

б) $ \frac{21}{140} = \frac{3}{\text{\hrulefill}} = \text{\hrulefill} $

в) $ 3 \frac{6}{75} = 3 \frac{\text{\hrulefill}}{25} = \text{\hrulefill} $

а)

Сначала сократим дробь $\frac{9}{150}$. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя 9 и знаменателя 150. Оба числа делятся на 3.

$\frac{9}{150} = \frac{9:3}{150:3} = \frac{3}{50}$

Теперь представим полученную дробь в виде десятичной. Для этого нужно привести знаменатель к степени 10 (10, 100, 1000 и т.д.). Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{3}{50}$ на 2, чтобы в знаменателе получилось 100.

$\frac{3}{50} = \frac{3 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{6}{100}$

Запишем полученную дробь в виде десятичной:

$\frac{6}{100} = 0.06$

Ответ: $0.06$

б)

Сократим дробь $\frac{21}{140}$. Найдем НОД для чисел 21 и 140. Разложим оба числа на простые множители: $21 = 3 \cdot 7$, $140 = 14 \cdot 10 = 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$. Общий множитель - 7. Разделим числитель и знаменатель на 7.

$\frac{21}{140} = \frac{21:7}{140:7} = \frac{3}{20}$

Чтобы представить дробь $\frac{3}{20}$ в виде десятичной, приведем знаменатель к 100. Для этого умножим числитель и знаменатель на 5.

$\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{15}{100}$

Запишем в виде десятичной дроби:

$\frac{15}{100} = 0.15$

Ответ: $0.15$

в)

Дано смешанное число $3\frac{6}{75}$. Сначала сократим его дробную часть $\frac{6}{75}$. НОД для 6 и 75 равен 3. Разделим числитель и знаменатель на 3.

$\frac{6}{75} = \frac{6:3}{75:3} = \frac{2}{25}$

Таким образом, смешанное число равно $3\frac{2}{25}$. Теперь представим дробную часть в виде десятичной дроби. Приведем знаменатель 25 к 100, умножив числитель и знаменатель на 4.

$\frac{2}{25} = \frac{2 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{8}{100} = 0.08$

Теперь сложим целую часть с полученной десятичной дробью:

$3\frac{6}{75} = 3\frac{2}{25} = 3 + 0.08 = 3.08$

Ответ: $3.08$

5. Заполните пропуски: «________ обыкновенную дробь нельзя представить в виде десятичной, если в разложении её знаменателя на простые множители есть хотя бы одно число, отличное от чисел ________ и ________».

Чтобы правильно заполнить пропуски, необходимо вспомнить правило преобразования обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь.

Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда её знаменатель в несократимом виде не имеет других простых множителей, кроме 2 и 5.

Это связано с тем, что любая конечная десятичная дробь по определению может быть записана со знаменателем, равным степени числа 10 (например, $0.7 = \frac{7}{10}$, $0.13 = \frac{13}{100}$). В свою очередь, число 10 раскладывается на простые множители как $2 \cdot 5$. Следовательно, знаменатель любой конечной десятичной дроби, записанной в виде обыкновенной, будет иметь вид $10^n = (2 \cdot 5)^n = 2^n \cdot 5^n$, то есть содержать в своём разложении на простые множители только числа 2 и 5.

Из этого следует, что если мы имеем несократимую обыкновенную дробь (это важное условие, так как сократимую дробь, например $\frac{6}{30}$, нужно сначала сократить до $\frac{1}{5}$), то для её преобразования в конечную десятичную, её знаменатель должен содержать только простые множители 2 и 5.

В задании спрашивается, при каком условии дробь нельзя представить в виде десятичной (имеется в виду конечной десятичной). Согласно правилу, это происходит, если в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители присутствует хотя бы одно простое число, отличное от 2 и 5 (например, 3, 7, 11 и т.д.).

Таким образом, заполняем пропуски:

• В первый пропуск вставляем слово «Несократимую», так как правило относится именно к несократимым дробям.

• Во второй и третий пропуски вставляем числа «2» и «5».

Получаем полностью заполненное утверждение: «Несократимую обыкновенную дробь нельзя представить в виде десятичной, если в разложении её знаменателя на простые множители есть хотя бы одно число, отличное от чисел 2 и 5».

Ответ: Несократимую; 2; 5.

6. Выясните, можно ли данную дробь представить в виде десятичной; если это возможно — запишите её в виде десятичной:

1) $ \frac{15}{12} = \frac{\text{\underline{\hspace{1em}}}}{4} = \frac{\text{\underline{\hspace{1em}}}}{2 \cdot 2} = \text{\underline{\hspace{1em}}} $

2) $ \frac{7}{12} = \frac{7}{2 \cdot 2 \cdot \text{\underline{\hspace{1em}}}} $ — эту дробь _________ представить в виде десятичной дроби;

3) $ \frac{22}{55} = \text{\underline{\hspace{1em}}} $

4) $ \frac{3}{125} = \text{\underline{\hspace{1em}}} $

1)Чтобы определить, можно ли представить обыкновенную дробь в виде конечной десятичной, нужно сначала сократить ее, а затем разложить ее знаменатель на простые множители. Если в разложении знаменателя содержатся только множители 2 и 5, то дробь можно представить в виде конечной десятичной.
Сначала сократим дробь $\frac{15}{12}$ на 3:
$\frac{15}{12} = \frac{15 \div 3}{12 \div 3} = \frac{5}{4}$
Теперь разложим знаменатель 4 на простые множители:
$4 = 2 \cdot 2 = 2^2$
Так как знаменатель содержит только множитель 2, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби. Для этого приведем знаменатель к степени 10. Умножим числитель и знаменатель на 25:
$\frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{125}{100} = 1,25$
Ответ: 1,25

2)Дробь $\frac{7}{12}$ является несократимой. Разложим ее знаменатель на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
Так как в разложении знаменателя, помимо множителя 2, присутствует множитель 3, эту дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Она будет бесконечной периодической дробью.
Ответ: нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

3)Сократим дробь $\frac{22}{55}$ на 11:
$\frac{22}{55} = \frac{22 \div 11}{55 \div 11} = \frac{2}{5}$
Знаменатель равен 5. Его разложение на простые множители состоит только из множителя 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби. Приведем ее к знаменателю 10:
$\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10} = 0,4$
Ответ: 0,4

4)Дробь $\frac{3}{125}$ является несократимой. Разложим знаменатель на простые множители:
$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$
Разложение знаменателя содержит только множитель 5, поэтому дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби. Чтобы привести знаменатель к степени 10 (в данном случае к 1000), домножим числитель и знаменатель на $2^3 = 8$:
$\frac{3}{125} = \frac{3 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{24}{1000} = 0,024$
Ответ: 0,024