Номер 20, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь (обязательные результаты обучения). Чему вы научились. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 20, страница 251.

20 $ax^2 + 2ax + a.$

Для решения данной задачи необходимо разложить на множители многочлен, представленный на изображении. Судя по стандартному оформлению заданий в учебных материалах, число 20 является номером задачи, а само выражение, которое нужно преобразовать, — это $ax^2 + 2ax + a$.

Задача состоит в том, чтобы представить этот многочлен в виде произведения более простых множителей.

1. Вынесение общего множителя за скобки

Первым шагом проанализируем все члены многочлена: $ax^2$, $2ax$ и $a$. Мы видим, что все они содержат общий множитель $a$. Вынесем его за скобки:

$ax^2 + 2ax + a = a(x^2 + 2x + 1)$

2. Разложение на множители выражения в скобках

Теперь рассмотрим выражение, которое находится в скобках: $x^2 + 2x + 1$. Это квадратный трехчлен. Заметим, что он соответствует формуле сокращенного умножения для квадрата суммы:

$(p + q)^2 = p^2 + 2pq + q^2$

Чтобы убедиться в этом, сравним наш трехчлен с формулой:

• Первый член $x^2$ можно представить как $(x)^2$. Значит, $p = x$.
• Третий член $1$ можно представить как $(1)^2$. Значит, $q = 1$.
• Второй член $2x$ должен быть равен удвоенному произведению $p$ и $q$. Проверяем: $2pq = 2 \cdot x \cdot 1 = 2x$.

Поскольку все условия выполняются, выражение $x^2 + 2x + 1$ является полным квадратом суммы $(x+1)$.

$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$

3. Запись окончательного результата

На последнем шаге подставим разложенный на множители трехчлен обратно в выражение, полученное на первом шаге:

$a(x^2 + 2x + 1) = a(x+1)^2$

Ответ: $a(x+1)^2$