Номер 414, страница 75 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 10. Сложение и вычитание многочленов. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 414, страница 75.

Условие.

414. Решите уравнение:

1) $x^2-(x+1)-(x^2-7x+32)=3;$

2) $(y^3+3y-8)-(5y-y^3+7)=2y^3-2y-15.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $x^2 - (x+1) - (x^2 - 7x + 32) = 3$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Так как перед обеими скобками стоит знак минус, все знаки внутри них меняются на противоположные.

$x^2 - x - 1 - x^2 + 7x - 32 = 3$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с $x^2$, члены с $x$ и свободные члены.

$(x^2 - x^2) + (-x + 7x) + (-1 - 32) = 3$

Выполним вычисления в каждой группе:

$0 + 6x - 33 = 3$

Получаем линейное уравнение:

$6x - 33 = 3$

Перенесем число -33 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$6x = 3 + 33$

$6x = 36$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 6:

$x = \frac{36}{6}$

$x = 6$

Ответ: 6

2) $(y^3 + 3y - 8) - (5y - y^3 + 7) = 2y^3 - 2y - 15$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Знаки в первой скобке остаются без изменений, а во второй меняются на противоположные, так как перед ней стоит знак минус.

$y^3 + 3y - 8 - 5y + y^3 - 7 = 2y^3 - 2y - 15$

Приведем подобные слагаемые в левой части. Сгруппируем члены с $y^3$, члены с $y$ и свободные члены.

$(y^3 + y^3) + (3y - 5y) + (-8 - 7) = 2y^3 - 2y - 15$

Выполним вычисления в каждой группе:

$2y^3 - 2y - 15 = 2y^3 - 2y - 15$

В результате упрощения мы получили тождество — равенство, верное при любых значениях переменной $y$, так как левая и правая части уравнения полностью совпадают.

Если перенести все члены из правой части в левую, мы получим:

$2y^3 - 2y - 15 - 2y^3 + 2y + 15 = 0$

$(2y^3 - 2y^3) + (-2y + 2y) + (-15 + 15) = 0$

$0 = 0$

Это верное числовое равенство, которое не зависит от $y$. Следовательно, решением уравнения является любое число.

Ответ: $y$ - любое число.