Номер 415, страница 75 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 10. Сложение и вычитание многочленов. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 415, страница 75.

Условие.

415. Докажите тождество:

1) $(a^2 + b^2 - c^2) - (b^2 + c^2 - a^2) + (c^2 - a^2) = a^2 - c^2;$

2) $(4 - 3a^2) - a^2 + (7 + 2a^2) - (-2a^2 + 11) = 0;$

3) $(x^3 + 4x^2) - (x + 6) + (1 + x - x^3) = 4x^2 - 5.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Докажем тождество $(a^2 + b^2 - c^2) - (b^2 + c^2 - a^2) + (c^2 - a^2) = a^2 - c^2$.

Для доказательства необходимо преобразовать левую часть равенства и показать, что она равна правой. Начнем с раскрытия скобок. Если перед скобкой стоит знак «-», знаки всех слагаемых внутри скобки меняются на противоположные.

$(a^2 + b^2 - c^2) - (b^2 + c^2 - a^2) + (c^2 - a^2) = a^2 + b^2 - c^2 - b^2 - c^2 + a^2 + c^2 - a^2$.

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^2 + a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (-c^2 - c^2 + c^2) = a^2 + 0 - c^2 = a^2 - c^2$.

Мы получили, что левая часть тождества равна $a^2 - c^2$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: $a^2 - c^2 = a^2 - c^2$, тождество доказано.

2) Докажем тождество $(4 - 3a^2) - a^2 + (7 + 2a^2) - (-2a^2 + 11) = 0$.

Преобразуем левую часть равенства, раскрыв все скобки:

$4 - 3a^2 - a^2 + 7 + 2a^2 - (-2a^2) - 11 = 4 - 3a^2 - a^2 + 7 + 2a^2 + 2a^2 - 11$.

Сгруппируем подобные слагаемые: отдельно члены с $a^2$ и отдельно свободные члены (числа):

$(-3a^2 - a^2 + 2a^2 + 2a^2) + (4 + 7 - 11)$.

Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$(-4a^2 + 4a^2) + (11 - 11) = 0 \cdot a^2 + 0 = 0$.

Левая часть равенства равна 0, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: $0 = 0$, тождество доказано.

3) Докажем тождество $(x^3 + 4x^2) - (x + 6) + (1 + x - x^3) = 4x^2 - 5$.

Упростим левую часть равенства. Для этого раскроем скобки:

$x^3 + 4x^2 - x - 6 + 1 + x - x^3$.

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их по степеням переменной $x$:

$(x^3 - x^3) + 4x^2 + (-x + x) + (-6 + 1)$.

Выполним действия в каждой группе:

$0 + 4x^2 + 0 - 5 = 4x^2 - 5$.

Полученное выражение в левой части полностью совпадает с выражением в правой части. Тождество доказано.

Ответ: $4x^2 - 5 = 4x^2 - 5$, тождество доказано.