Номер 419, страница 75 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 10. Сложение и вычитание многочленов. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 419, страница 75.

Условие.

419. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной, входящей в него:

1) $1,6 - 7a^2 - (0,8 - 4a^2) + (3a^2 - 0,7);$

2) $3x^2 - 9x - (8 - 5x^2 - (9x - 8x^2)).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от входящей в него переменной, необходимо упростить это выражение. Если в результате упрощения все члены, содержащие переменную, сократятся, и останется только числовое значение (константа), то утверждение будет доказано.

1) Рассмотрим выражение $1,6 - 7a^2 - (0,8 - 4a^2) + (3a^2 - 0,7)$.

Сначала раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак «-», то знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные. Если стоит знак «+», знаки остаются прежними.

$1,6 - 7a^2 - 0,8 + 4a^2 + 3a^2 - 0,7$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые: члены с переменной $a^2$ и числовые члены (свободные члены).

$(-7a^2 + 4a^2 + 3a^2) + (1,6 - 0,8 - 0,7)$

Вычислим сумму для каждой группы:

Слагаемые с переменной: $-7a^2 + 4a^2 + 3a^2 = (-7 + 4 + 3)a^2 = 0 \cdot a^2 = 0$.

Свободные члены: $1,6 - 0,8 - 0,7 = 0,8 - 0,7 = 0,1$.

Сложим полученные результаты: $0 + 0,1 = 0,1$.

Результатом упрощения является число 0,1. Поскольку это значение является константой и не содержит переменную $a$, значение исходного выражения не зависит от $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: 0,1.

2) Рассмотрим выражение $3x^2 - 9x - (8 - 5x^2 - (9x - 8x^2))$.

Упрощение начинаем с раскрытия самых внутренних скобок $(9x - 8x^2)$. Перед ними стоит знак «-», поэтому знаки слагаемых внутри меняются на противоположные:

$3x^2 - 9x - (8 - 5x^2 - 9x + 8x^2)$

Далее приведем подобные слагаемые внутри оставшихся скобок:

$8 - 5x^2 - 9x + 8x^2 = 8 + (-5x^2 + 8x^2) - 9x = 8 + 3x^2 - 9x$

Теперь выражение выглядит так:

$3x^2 - 9x - (8 + 3x^2 - 9x)$

Раскроем последние скобки. Перед ними также стоит знак «-», поэтому знаки всех слагаемых внутри меняются:

$3x^2 - 9x - 8 - 3x^2 + 9x$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 3x^2) + (-9x + 9x) - 8$

Вычислим сумму для каждой группы:

Слагаемые с $x^2$: $3x^2 - 3x^2 = 0$.

Слагаемые с $x$: $-9x + 9x = 0$.

Свободный член: $-8$.

Результатом упрощения является число -8. Так как это значение является константой и не содержит переменную $x$, значение исходного выражения не зависит от $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: -8.