Номер 1, страница 125 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Вторая формула корней квадратного уравнения. Вопросы к параграфу. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 1, страница 125.

Условие.

Найдите в тексте учебного пособия примеры квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом. Запишите формулу корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

$x = \frac{-(b/2) \pm \sqrt{(b/2)^2 - ac}}{a}$

Решение 3.

Решение 4.

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. Коэффициент $b$ при $x$ называется вторым коэффициентом. Если этот коэффициент является чётным числом (например, 2, -4, 10), то для нахождения корней уравнения можно использовать специальную, упрощённую формулу.

Примеры квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом

Поскольку задание предполагает поиск примеров в конкретном учебном пособии, а у нас нет к нему доступа, мы приведём несколько типичных примеров таких уравнений. Второй коэффициент $b$ в них является чётным числом.

Ответ: Примерами квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом являются:

• $x^2 + \mathbf{6}x + 5 = 0$ (здесь $b=6$);
• $3x^2 - \mathbf{10}x + 3 = 0$ (здесь $b=-10$);
• $5x^2 + \mathbf{2}x - 7 = 0$ (здесь $b=2$).

Формула корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом

Для вывода этой формулы воспользуемся стандартной формулой корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

По условию, второй коэффициент $b$ — чётный. Это значит, что его можно представить в виде $b = 2k$, где $k$ — это половина коэффициента $b$, то есть $k = \frac{b}{2}$. Подставим $b = 2k$ в общую формулу:
$x_{1,2} = \frac{-(2k) \pm \sqrt{(2k)^2 - 4ac}}{2a}$

Далее выполним преобразования по шагам:

1. Упростим выражение в числителе под корнем: $(2k)^2 = 4k^2$. Формула примет вид:
   $x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4ac}}{2a}$
2. Вынесем общий множитель 4 из-под знака корня:
   $x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4(k^2 - ac)}}{2a} = \frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2 - ac}}{2a}$
3. Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь на 2:
   $x_{1,2} = \frac{2(-k \pm \sqrt{k^2 - ac})}{2a} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

Это и есть искомая формула. Выражение $D_1 = k^2 - ac$ иногда называют "дискриминантом, делённым на 4" (или "четверть-дискриминантом"), так как $D = b^2 - 4ac = (2k)^2 - 4ac = 4k^2 - 4ac = 4(k^2-ac) = 4D_1$. Использование этой формулы упрощает расчёты.

Ответ: Формула корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ с чётным вторым коэффициентом $b$ имеет вид: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$.