Номер 3.26, страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.26, страница 124.

Условие.

3.26 Исследуем

1) Выясните, имеет ли корни уравнение $193x^2 + 93x + 10 = 0$. Используя полученный результат, установите, имеют ли корни следующие уравнения: $193x^2 - 93x + 10 = 0$, $10x^2 + 93x + 193 = 0$, $10x^2 - 93x + 193 = 0$.

2) Запишите какое-нибудь квадратное уравнение, которое имеет тот же дискриминант, что и уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ (коэффициенты отличны от 0).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Чтобы выяснить, имеет ли квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ действительные корни, нужно вычислить его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Если $D \ge 0$, то уравнение имеет корни.

Сначала рассмотрим уравнение $193x^2 + 93x + 10 = 0$. Его коэффициенты: $a = 193$, $b = 93$, $c = 10$. Вычислим его дискриминант: $D = 93^2 - 4 \cdot 193 \cdot 10 = 8649 - 7720 = 929$. Так как $D = 929 > 0$, это уравнение имеет два различных действительных корня.

Теперь проанализируем остальные уравнения, используя полученный результат. Заметим, что значение дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ не меняется в двух случаях:

• при изменении знака коэффициента $b$, так как $(-b)^2 = b^2$;
• при перестановке местами коэффициентов $a$ и $c$, так как их произведение не меняется: $ac = ca$.

Рассмотрим остальные уравнения:

• $193x^2 - 93x + 10 = 0$: здесь изменен только знак коэффициента $b$. Дискриминант тот же: $(-93)^2 - 4 \cdot 193 \cdot 10 = 929$.
• $10x^2 + 93x + 193 = 0$: здесь коэффициенты $a$ и $c$ поменялись местами. Дискриминант тот же: $93^2 - 4 \cdot 10 \cdot 193 = 929$.
• $10x^2 - 93x + 193 = 0$: здесь изменен знак $b$ и поменяны местами $a$ и $c$. Дискриминант тот же: $(-93)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 193 = 929$.

Поскольку у всех перечисленных уравнений дискриминант равен 929, что больше нуля, все они имеют по два действительных корня.

Ответ: Да, все указанные уравнения имеют корни.

2)

Дискриминант исходного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a, b, c \ne 0$) равен $D = b^2 - 4ac$. Нам нужно записать другое квадратное уравнение, у которого будет такой же дискриминант.

Рассмотрим уравнение $ax^2 - bx + c = 0$. Поскольку по условию $b \ne 0$, это уравнение отличается от исходного.

Найдем дискриминант нового уравнения. Его коэффициенты: $a' = a$, $b' = -b$, $c' = c$. $D' = (b')^2 - 4a'c' = (-b)^2 - 4ac = b^2 - 4ac$.

Таким образом, $D' = D$, и уравнение $ax^2 - bx + c = 0$ имеет тот же дискриминант, что и $ax^2 + bx + c = 0$.

Другим примером может служить уравнение $cx^2 + bx + a = 0$, дискриминант которого также равен $b^2 - 4ca = b^2 - 4ac = D$.

Ответ: Например, $ax^2 - bx + c = 0$.