Номер 3.25, страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.25, страница 124.

Условие.

3.25 Определите, сколько корней имеет уравнение:

а) $(4x^2 + x + 1)(x^2 - 9x + 4) = 0;$

б) $(x^2 - 4x + 5)(2x^2 - 3x + 2) = 0;$

в) $(3x^2 - 5x + 2)(2x^2 + 3x - 1) = 0;$

г) $(36x^2 - 12x + 1)(5x^2 - 2x - 3) = 0;$

д) $(x^2 - 5x + 6)(x^2 - 2x - 3) = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы определить количество корней уравнения, представленного в виде произведения двух или более сомножителей, равного нулю, необходимо приравнять каждый сомножитель к нулю и найти количество уникальных корней всех полученных уравнений. Количество корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

а) $(4x^2 + x + 1)(x^2 - 9x + 4) = 0$

Это уравнение распадается на два квадратных уравнения:

1) $4x^2 + x + 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D_1 = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$.

Так как $D_1 < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

2) $x^2 - 9x + 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D_2 = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 81 - 16 = 65$.

Так как $D_2 > 0$, это уравнение имеет два различных действительных корня.

Общее количество корней исходного уравнения равно сумме корней: $0 + 2 = 2$.

Ответ: 2 корня.

б) $(x^2 - 4x + 5)(2x^2 - 3x + 2) = 0$

Рассмотрим два уравнения:

1) $x^2 - 4x + 5 = 0$

$D_1 = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как $D_1 < 0$, действительных корней нет.

2) $2x^2 - 3x + 2 = 0$

$D_2 = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$.

Так как $D_2 < 0$, действительных корней нет.

Общее количество корней: $0 + 0 = 0$.

Ответ: 0 корней.

в) $(3x^2 - 5x + 2)(2x^2 + 3x - 1) = 0$

Рассмотрим два уравнения:

1) $3x^2 - 5x + 2 = 0$

$D_1 = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

2) $2x^2 + 3x - 1 = 0$

$D_2 = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9 + 8 = 17$.

Так как $D_2 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни каждого уравнения, чтобы проверить, есть ли среди них совпадающие.

Корни первого уравнения: $x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} \Rightarrow x_1 = \frac{6}{6} = 1, x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Корни второго уравнения: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} \Rightarrow x_3 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}, x_4 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{4}$.

Все четыре корня различны. Общее количество корней: $2 + 2 = 4$.

Ответ: 4 корня.

г) $(36x^2 - 12x + 1)(5x^2 - 2x - 3) = 0$

Рассмотрим два уравнения:

1) $36x^2 - 12x + 1 = 0$

Это выражение является полным квадратом: $(6x - 1)^2 = 0$.

Следовательно, уравнение имеет один действительный корень $x = \frac{1}{6}$.

Или через дискриминант: $D_1 = (-12)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 1 = 144 - 144 = 0$. Так как $D_1 = 0$, уравнение имеет один действительный корень.

2) $5x^2 - 2x - 3 = 0$

$D_2 = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$.

Так как $D_2 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни второго уравнения: $x = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{10} \Rightarrow x_2 = \frac{10}{10} = 1, x_3 = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$.

Корень первого уравнения ($x = 1/6$) не совпадает с корнями второго. Общее количество уникальных корней: $1 + 2 = 3$.

Ответ: 3 корня.

д) $(x^2 - 5x + 6)(x^2 - 2x - 3) = 0$

Рассмотрим два уравнения:

1) $x^2 - 5x + 6 = 0$

$D_1 = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их: $x = \frac{5 \pm 1}{2} \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = 2$.

2) $x^2 - 2x - 3 = 0$

$D_2 = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Так как $D_2 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их: $x = \frac{2 \pm 4}{2} \Rightarrow x_3 = 3, x_4 = -1$.

Множество корней первого уравнения: $\{2, 3\}$.

Множество корней второго уравнения: $\{-1, 3\}$.

Корень $x = 3$ является общим для обоих уравнений. Объединяя множества корней, получаем уникальные корни: $\{-1, 2, 3\}$.

Всего 3 уникальных корня.

Ответ: 3 корня.