Номер 3.18, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.18, страница 123.

Условие.

3.18 а) $3z^2 = 198 + 15z;$

б) $11v = 3 + 10v^2;$

в) $8z^2 = 22z + 6;$

Г) $0,3y^2 + 1,4 = -1,3y;$

Д) $0,1 + 0,03x^2 = 0,17x;$

Е) $75 - 35z = 10z^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дано уравнение: $3z^2 = 198 + 15z$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $az^2+bz+c=0$:
$3z^2 - 15z - 198 = 0$
Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 3:
$z^2 - 5z - 66 = 0$
Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=1, b=-5, c=-66$.
Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-66) = 25 + 264 = 289$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$
Формула для нахождения корней: $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$z_1 = \frac{-(-5) + 17}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 17}{2} = \frac{22}{2} = 11$
$z_2 = \frac{-(-5) - 17}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 17}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
Ответ: $z_1 = 11, z_2 = -6$.

б)

Дано уравнение: $11v = 3 + 10v^2$.
Приведем уравнение к стандартному виду $av^2+bv+c=0$:
$10v^2 - 11v + 3 = 0$
Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=10, b=-11, c=3$.
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 3 = 121 - 120 = 1$
$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$
Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-(-11) + 1}{2 \cdot 10} = \frac{11 + 1}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0,6$
$v_2 = \frac{-(-11) - 1}{2 \cdot 10} = \frac{11 - 1}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} = 0,5$
Ответ: $v_1 = 0,6; v_2 = 0,5$.

в)

Дано уравнение: $8z^2 = 22z + 6$.
Приведем уравнение к стандартному виду $az^2+bz+c=0$:
$8z^2 - 22z - 6 = 0$
Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:
$4z^2 - 11z - 3 = 0$
Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=4, b=-11, c=-3$.
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$
$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$
Найдем корни уравнения:
$z_1 = \frac{-(-11) + 13}{2 \cdot 4} = \frac{11 + 13}{8} = \frac{24}{8} = 3$
$z_2 = \frac{-(-11) - 13}{2 \cdot 4} = \frac{11 - 13}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} = -0,25$
Ответ: $z_1 = 3; z_2 = -0,25$.

г)

Дано уравнение: $0,3y^2 + 1,4 = -1,3y$.
Приведем уравнение к стандартному виду $ay^2+by+c=0$:
$0,3y^2 + 1,3y + 1,4 = 0$
Умножим все члены уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$3y^2 + 13y + 14 = 0$
Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=3, b=13, c=14$.
$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1$
$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$
Найдем корни уравнения:
$y_1 = \frac{-13 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$
$y_2 = \frac{-13 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$
Ответ: $y_1 = -2; y_2 = -\frac{7}{3}$.

д)

Дано уравнение: $0,1 + 0,03x^2 = 0,17x$.
Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$:
$0,03x^2 - 0,17x + 0,1 = 0$
Умножим все члены уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$3x^2 - 17x + 10 = 0$
Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=3, b=-17, c=10$.
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 289 - 120 = 169$
$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-17) + 13}{2 \cdot 3} = \frac{17 + 13}{6} = \frac{30}{6} = 5$
$x_2 = \frac{-(-17) - 13}{2 \cdot 3} = \frac{17 - 13}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Ответ: $x_1 = 5; x_2 = \frac{2}{3}$.

е)

Дано уравнение: $75 - 35z = 10z^2$.
Приведем уравнение к стандартному виду $az^2+bz+c=0$:
$10z^2 + 35z - 75 = 0$
Разделим все члены уравнения на 5 для упрощения:
$2z^2 + 7z - 15 = 0$
Решим уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=2, b=7, c=-15$.
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169$
$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$
Найдем корни уравнения:
$z_1 = \frac{-7 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$
$z_2 = \frac{-7 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5$
Ответ: $z_1 = 1,5; z_2 = -5$.