Номер 3.14, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.14, страница 123.

Условие.

Убедитесь, что уравнение имеет два корня, и найдите эти корни (3.14–3.15).

3.14 a) $2x^2 + 3x + 1 = 0$;

б) $3y^2 + 7y - 6 = 0$;

в) $4z^2 - 11z - 3 = 0$;

г) $3x^2 + 7x + 2 = 0$;

д) $2z^2 + 5z + 3 = 0$;

е) $2z^2 - 9z - 5 = 0$;

ж) $7y^2 + 9y + 2 = 0$;

з) $6x^2 - 13x - 5 = 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $2x^2 + 3x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 2, b = 3, c = 1$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Ответ: $-1; -\frac{1}{2}$.

б) $3y^2 + 7y - 6 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 3, b = 7, c = -6$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$y_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

Ответ: $-3; \frac{2}{3}$.

в) $4z^2 - 11z - 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 4, b = -11, c = -3$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{11 + 13}{8} = \frac{24}{8} = 3$

$z_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{11 - 13}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}; 3$.

г) $3x^2 + 7x + 2 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 3, b = 7, c = 2$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 + 5}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-7 - 5}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

Ответ: $-2; -\frac{1}{3}$.

д) $2z^2 + 5z + 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 2, b = 5, c = 3$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

$z_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Ответ: $-\frac{3}{2}; -1$.

е) $2z^2 - 9z - 5 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 2, b = -9, c = -5$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$z_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 11}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}; 5$.

ж) $7y^2 + 9y + 2 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 7, b = 9, c = 2$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{-9 + 5}{14} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}$

$y_2 = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{-9 - 5}{14} = \frac{-14}{14} = -1$

Ответ: $-1; -\frac{2}{7}$.

з) $6x^2 - 13x - 5 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a = 6, b = -13, c = -5$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 169 + 120 = 289$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 17}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}$

$x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 17}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}; \frac{5}{2}$.