Номер 3.10, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Какие уравнения называют квадратными. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.10, страница 118.

Условие.

3.10 РАССУЖДАЕМ Составьте какое-нибудь квадратное уравнение, которое:

а) не имеет корней;

б) имеет два целых корня;

в) имеет два иррациональных корня;

г) имеет один корень.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для составления квадратных уравнений вида $ax^2 + bx + c = 0$ воспользуемся свойством его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$, который определяет количество и тип корней уравнения.

а) не имеет корней

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен, то есть $D < 0$. Чтобы составить такое уравнение, нам нужно подобрать коэффициенты $a$, $b$ и $c$ так, чтобы выполнялось условие $b^2 - 4ac < 0$.

Возьмем простые коэффициенты, например, $a = 1$ и $b = 2$. Тогда неравенство примет вид:

$2^2 - 4 \cdot 1 \cdot c < 0$

$4 - 4c < 0$

$4 < 4c$

$1 < c$

Мы можем выбрать любое значение $c$, большее 1. Например, возьмем $c = 2$.

Тогда наше уравнение будет выглядеть как $x^2 + 2x + 2 = 0$. Проверим его дискриминант:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Поскольку $D = -4 < 0$, уравнение действительно не имеет корней.

Ответ: $x^2 + 2x + 2 = 0$.

б) имеет два целых корня

Чтобы квадратное уравнение имело два целых корня, его дискриминант $D$ должен быть положительным и являться полным квадратом некоторого целого числа. Самый простой способ составить такое уравнение — это выбрать два целых корня, например, $x_1$ и $x_2$, и использовать формулу $(x - x_1)(x - x_2) = 0$.

Пусть наши корни будут $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Составим уравнение:

$(x - 3)(x - 5) = 0$

Раскроем скобки:

$x^2 - 5x - 3x + 15 = 0$

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Проверим его дискриминант: $a=1$, $b=-8$, $c=15$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 = 2^2$.

Корни уравнения: $x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 2}{2}$.

$x_1 = \frac{8+2}{2} = 5$, $x_2 = \frac{8-2}{2} = 3$. Корни целые, как и требовалось.

Ответ: $x^2 - 8x + 15 = 0$.

в) имеет два иррациональных корня

Квадратное уравнение имеет два иррациональных корня, если его дискриминант $D$ положителен ($D > 0$), но не является полным квадратом. Подберем коэффициенты $a$, $b$ и $c$ для этого условия.

Возьмем $a = 1$ и $b = 4$. Тогда условие $D > 0$ выглядит как:

$4^2 - 4 \cdot 1 \cdot c > 0$

$16 - 4c > 0$

$16 > 4c$

$4 > c$

Нам нужно выбрать такое целое $c < 4$, чтобы $D = 16 - 4c$ не был полным квадратом. Попробуем разные значения $c$:

• Если $c=3$, $D = 16 - 12 = 4 = 2^2$ (не подходит, корни будут рациональными).
• Если $c=2$, $D = 16 - 8 = 8$ (подходит, так как 8 не является полным квадратом).

Выберем $c=2$. Уравнение: $x^2 + 4x + 2 = 0$.

Его дискриминант $D=8$. Корни уравнения: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}$.

Корни $x_1 = -2 + \sqrt{2}$ и $x_2 = -2 - \sqrt{2}$ являются иррациональными.

Ответ: $x^2 + 4x + 2 = 0$.

г) имеет один корень

Квадратное уравнение имеет ровно один корень (или два совпадающих корня), если его дискриминант равен нулю, то есть $D = 0$. Это означает, что должно выполняться равенство $b^2 - 4ac = 0$, или $b^2 = 4ac$.

Такое уравнение представляет собой полный квадрат. Мы можем составить его по формуле $(x \pm k)^2 = 0$.

Например, возьмем $k=5$.

$(x - 5)^2 = 0$

Раскроем скобки:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = 0$

$x^2 - 10x + 25 = 0$

Проверим дискриминант: $a=1$, $b=-10$, $c=25$.

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0$.

Уравнение имеет один корень $x = 5$.

Ответ: $x^2 - 10x + 25 = 0$.