Номер 3.3, страница 117 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Какие уравнения называют квадратными. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.3, страница 117.

Условие.

3.3 Покажите, что:

а) числа $-7$ и $5$ являются корнями уравнения $x^2 + 2x - 35 = 0$;

б) число $\frac{2}{3}$ является корнем уравнения $3x^2 + x - 2 = 0$, а число $-2$ не является;

в) числа $1 - \sqrt{2}$ и $1 + \sqrt{2}$ являются корнями уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$;

г) число $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ является корнем уравнения $x^2 - x - 1 = 0$, а число $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ нет.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы проверить, являются ли числа $-7$ и $5$ корнями уравнения $x^2 + 2x - 35 = 0$, нужно подставить каждое из них в уравнение вместо $x$ и убедиться, что получается верное равенство.
Для $x = -7$: $(-7)^2 + 2 \cdot (-7) - 35 = 49 - 14 - 35 = 35 - 35 = 0$. Равенство $0=0$ верно, следовательно, $-7$ является корнем уравнения.
Для $x = 5$: $5^2 + 2 \cdot 5 - 35 = 25 + 10 - 35 = 35 - 35 = 0$. Равенство $0=0$ верно, следовательно, $5$ является корнем уравнения.
Ответ: Числа $-7$ и $5$ действительно являются корнями уравнения $x^2 + 2x - 35 = 0$.

б) Проверим, является ли число $\frac{2}{3}$ корнем уравнения $3x^2 + x - 2 = 0$.
Подставим $x = \frac{2}{3}$: $3 \cdot (\frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3} - 2 = 3 \cdot \frac{4}{9} + \frac{2}{3} - 2 = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} - 2 = \frac{6}{3} - 2 = 2 - 2 = 0$. Равенство $0=0$ верно, значит, $\frac{2}{3}$ — корень уравнения.
Теперь проверим, является ли число $-2$ корнем этого же уравнения.
Подставим $x = -2$: $3 \cdot (-2)^2 + (-2) - 2 = 3 \cdot 4 - 2 - 2 = 12 - 4 = 8$. Так как $8 \neq 0$, равенство неверно, и число $-2$ не является корнем уравнения.
Ответ: Число $\frac{2}{3}$ является корнем уравнения $3x^2 + x - 2 = 0$, а число $-2$ не является.

в) Проверим, являются ли числа $1 - \sqrt{2}$ и $1 + \sqrt{2}$ корнями уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$.
Для $x = 1 - \sqrt{2}$: $(1 - \sqrt{2})^2 - 2(1 - \sqrt{2}) - 1 = (1^2 - 2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) - 2(1 - \sqrt{2}) - 1 = (1 - 2\sqrt{2} + 2) - 2 + 2\sqrt{2} - 1 = 3 - 2\sqrt{2} - 2 + 2\sqrt{2} - 1 = (3 - 2 - 1) + (-2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) = 0$. Равенство $0=0$ верно, значит, $1 - \sqrt{2}$ — корень уравнения.
Для $x = 1 + \sqrt{2}$: $(1 + \sqrt{2})^2 - 2(1 + \sqrt{2}) - 1 = (1^2 + 2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) - 2(1 + \sqrt{2}) - 1 = (1 + 2\sqrt{2} + 2) - 2 - 2\sqrt{2} - 1 = 3 + 2\sqrt{2} - 2 - 2\sqrt{2} - 1 = (3 - 2 - 1) + (2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) = 0$. Равенство $0=0$ верно, значит, $1 + \sqrt{2}$ — корень уравнения.
Ответ: Числа $1 - \sqrt{2}$ и $1 + \sqrt{2}$ являются корнями уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$.

г) Проверим, является ли число $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ корнем уравнения $x^2 - x - 1 = 0$.
Подставим $x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$: $(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{1+\sqrt{5}}{2}) - 1 = \frac{1^2 + 2\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{4} - \frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} - \frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} - \frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} - \frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{3 + \sqrt{5} - 1 - \sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{2}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$. Равенство $0=0$ верно, значит, $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — корень уравнения.
Теперь проверим число $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
Подставим $x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$: $(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2 - (\frac{\sqrt{5}-1}{2}) - 1 = \frac{(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5} + 1^2}{4} - \frac{\sqrt{5}-1}{2} - 1 = \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{4} - \frac{\sqrt{5}-1}{2} - 1 = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt{5}-1}{2} - 1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{5}-1}{2} - 1 = \frac{3 - \sqrt{5} - (\sqrt{5}-1)}{2} - 1 = \frac{3 - \sqrt{5} - \sqrt{5} + 1}{2} - 1 = \frac{4 - 2\sqrt{5}}{2} - 1 = (2 - \sqrt{5}) - 1 = 1 - \sqrt{5}$. Так как $1 - \sqrt{5} \neq 0$, равенство неверно, и число $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ не является корнем.
Ответ: Число $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ является корнем уравнения $x^2 - x - 1 = 0$, а число $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ нет.