Номер 19, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 2. Квадратные корни - номер 19, страница 113.

Условие.

19 Найдите значение выражения $ \sqrt[4]{\frac{1}{81}} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения значения выражения $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$ можно воспользоваться свойством корня из частного (дроби), которое гласит: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, где $a \ge 0$ и $b > 0$.
Применим это свойство к данному выражению:
$\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}}$
Теперь вычислим значение корня в числителе и в знаменателе.
Корень четвертой степени из 1 равен 1, поскольку $1^4 = 1$.
$\sqrt[4]{1} = 1$
Чтобы найти корень четвертой степени из 81, нужно найти число, которое при возведении в четвертую степень дает 81. Заметим, что $81 = 9 \times 9 = (3 \times 3) \times (3 \times 3) = 3^4$.
Следовательно, $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.
Подставим найденные значения обратно в дробь:
$\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{1}{3}$

Также можно решить задачу, представив корень в виде степени с дробным показателем:
$\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = (\frac{1}{81})^{\frac{1}{4}}$
Мы знаем, что $81 = 3^4$, поэтому $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$.
Подставим это в выражение:
$(3^{-4})^{\frac{1}{4}}$
При возведении степени в степень их показатели перемножаются:
$3^{-4 \times \frac{1}{4}} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$
Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: $\frac{1}{3}$