Номер 16, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 2. Квадратные корни - номер 16, страница 113.

Условие.

16 Сократите дробь $ \frac{2\sqrt{8} + 3\sqrt{20} - 6\sqrt{5}}{4\sqrt{3} - 2\sqrt{12} + \sqrt{18}} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы сократить дробь, необходимо упростить выражения в числителе и знаменателе. Рассмотрим исходную дробь:

$$ \frac{2\sqrt{8} + 3\sqrt{20} - 6\sqrt{5}}{4\sqrt{3} - 2\sqrt{12} + \sqrt{18}} $$

Сначала упростим числитель: $2\sqrt{8} + 3\sqrt{20} - 6\sqrt{5}$.

Для этого вынесем множители из-под знака корня в каждом слагаемом, где это возможно:

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

Теперь подставим упрощенные значения в выражение числителя:

$2 \cdot (2\sqrt{2}) + 3 \cdot (2\sqrt{5}) - 6\sqrt{5} = 4\sqrt{2} + 6\sqrt{5} - 6\sqrt{5}$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $6\sqrt{5}$ и $-6\sqrt{5}$ взаимно уничтожаются:

$4\sqrt{2} + (6\sqrt{5} - 6\sqrt{5}) = 4\sqrt{2} + 0 = 4\sqrt{2}$

Итак, числитель равен $4\sqrt{2}$.

Теперь упростим знаменатель: $4\sqrt{3} - 2\sqrt{12} + \sqrt{18}$.

Аналогично вынесем множители из-под знака корня:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

Подставим эти значения в выражение знаменателя:

$4\sqrt{3} - 2 \cdot (2\sqrt{3}) + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $4\sqrt{3}$ и $-4\sqrt{3}$ взаимно уничтожаются:

$(4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) + 3\sqrt{2} = 0 + 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

Итак, знаменатель равен $3\sqrt{2}$.

Теперь, когда мы упростили числитель и знаменатель, подставим их обратно в дробь:

$$ \frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} $$

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ в числителе и знаменателе:

$$ \frac{4\cancel{\sqrt{2}}}{3\cancel{\sqrt{2}}} = \frac{4}{3} $$

Ответ: $\frac{4}{3}$