Номер 14, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 2. Квадратные корни - номер 14, страница 113.

Условие.

14 Найдите значение выражения $ \frac{2\sqrt{21} \cdot 6\sqrt{35}}{7\sqrt{60}} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы найти значение данного выражения, мы будем использовать свойства квадратных корней, а именно $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} $ и $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $.

Исходное выражение:

$$ \frac{2\sqrt{21} \cdot 6\sqrt{35}}{7\sqrt{60}} $$

Сначала перемножим коэффициенты перед корнями в числителе и объединим все корни в один с помощью указанных выше свойств:

$$ \frac{2 \cdot 6}{7} \cdot \frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{35}}{\sqrt{60}} = \frac{12}{7} \cdot \sqrt{\frac{21 \cdot 35}{60}} $$

Для упрощения выражения под корнем, разложим числа на множители. Это позволит нам сократить дробь.

$$ \frac{21 \cdot 35}{60} = \frac{(3 \cdot 7) \cdot (5 \cdot 7)}{4 \cdot 15} = \frac{(3 \cdot 7) \cdot (5 \cdot 7)}{4 \cdot 3 \cdot 5} $$

Теперь сократим общие множители (3 и 5) в числителе и знаменателе:

$$ \frac{\cancel{3} \cdot 7 \cdot \cancel{5} \cdot 7}{4 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5}} = \frac{7 \cdot 7}{4} = \frac{49}{4} $$

Подставим упрощенное значение обратно в наше выражение:

$$ \frac{12}{7} \cdot \sqrt{\frac{49}{4}} $$

Извлечем квадратный корень:

$$ \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}} = \frac{7}{2} $$

Теперь выполним финальное умножение:

$$ \frac{12}{7} \cdot \frac{7}{2} $$

Сокращаем 7 в числителе и знаменателе, а затем делим 12 на 2:

$$ \frac{12}{\cancel{7}} \cdot \frac{\cancel{7}}{2} = \frac{12}{2} = 6 $$

Ответ: 6