Номер 18, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Глава 2. Квадратные корни - номер 18, страница 113.

Условие.

18 Упростите выражение $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - \sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для упрощения данного выражения необходимо выполнить действия по порядку. Выражение состоит из двух частей: квадрата суммы $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$ и произведения корней $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$.

1. Сначала раскроем скобки в первой части, используя формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = \sqrt{5}$ и $b = \sqrt{3}$.

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$

Используя свойство, что $(\sqrt{x})^2 = x$, и свойство произведения корней $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$, мы получаем:

$5 + 2\sqrt{5 \cdot 3} + 3 = 5 + 2\sqrt{15} + 3$

Сложим целые числа:

$5 + 3 + 2\sqrt{15} = 8 + 2\sqrt{15}$

2. Теперь упростим вторую часть выражения: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$.

Воспользуемся свойством произведения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64}$

Вычислим значение корня:

$\sqrt{64} = 8$

3. Наконец, подставим полученные результаты в исходное выражение и выполним вычитание.

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - \sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = (8 + 2\sqrt{15}) - 8$

$8 + 2\sqrt{15} - 8 = 2\sqrt{15}$

Ответ: $2\sqrt{15}$