Номер 3, страница 117 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Какие уравнения называют квадратными. Вопросы к параграфу. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3, страница 117.

Условие.

Разберите, как решено уравнение в примере 1. Решите этим же приёмом уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0.$

Решение 3.

Решение 4.

Для решения уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ воспользуемся методом выделения полного квадрата. Этот метод позволяет преобразовать левую часть уравнения в выражение вида $(x \pm a)^2$, что упрощает нахождение корней.

Сначала перенесём свободный член (в данном случае, 3) из левой части уравнения в правую, изменив его знак:

$x^2 - 4x = -3$

Теперь нам нужно дополнить левую часть до полного квадрата. Вспомним формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем выражении $x^2 - 4x$, слагаемое $x^2$ соответствует $a^2$ (значит, $a=x$), а слагаемое $-4x$ соответствует $-2ab$. Подставив $a=x$, получаем $-2xb = -4x$, откуда находим, что $b=2$.

Чтобы получить полный квадрат, нам не хватает слагаемого $b^2$, которое равно $2^2 = 4$. Прибавим это число к обеим частям уравнения, чтобы равенство осталось верным:

$x^2 - 4x + 4 = -3 + 4$

Теперь левую часть можно "свернуть" по формуле квадрата разности, а правую часть — упростить:

$(x - 2)^2 = 1$

Далее извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что квадратный корень из 1 имеет два значения: 1 и -1. Поэтому мы получаем два линейных уравнения:

$x - 2 = 1$ и $x - 2 = -1$

Решим каждое из этих уравнений, чтобы найти оба корня исходного уравнения:

1) $x - 2 = 1 \implies x_1 = 1 + 2 \implies x_1 = 3$

2) $x - 2 = -1 \implies x_2 = -1 + 2 \implies x_2 = 1$

Таким образом, мы нашли два корня уравнения.

Ответ: $1, 3$.