Номер 3.5, страница 117 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Какие уравнения называют квадратными. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.5, страница 117.

Условие.

3.5 Подберите недостающий член квадратного трёхчлена так, чтобы его можно было представить в виде квадрата двучлена:

а) $x^2 + 8x + ...;$

б) $x^2 - 18x + ...;$

в) $z^2 + 3z + ...;$

г) $a^2 + a + ... .$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы дополнить выражение до полного квадрата, мы будем использовать формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

а) В выражении $x^2 + 8x + ...$ первый член $a^2 = x^2$, значит $a=x$. Удвоенное произведение $2ab = 8x$. Подставив $a=x$, получаем $2 \cdot x \cdot b = 8x$. Отсюда находим $b = \frac{8x}{2x} = 4$. Недостающий член равен $b^2 = 4^2 = 16$.
Таким образом, $x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$.
Ответ: 16.

б) В выражении $x^2 - 18x + ...$ используется формула квадрата разности. Здесь $a^2 = x^2$, значит $a=x$. Удвоенное произведение $2ab = 18x$. Подставив $a=x$, получаем $2 \cdot x \cdot b = 18x$. Отсюда находим $b = \frac{18x}{2x} = 9$. Недостающий член равен $b^2 = 9^2 = 81$.
Таким образом, $x^2 - 18x + 81 = (x-9)^2$.
Ответ: 81.

в) В выражении $z^2 + 3z + ...$ первый член $a^2 = z^2$, значит $a=z$. Удвоенное произведение $2ab = 3z$. Подставив $a=z$, получаем $2 \cdot z \cdot b = 3z$. Отсюда находим $b = \frac{3z}{2z} = \frac{3}{2}$. Недостающий член равен $b^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.
Таким образом, $z^2 + 3z + \frac{9}{4} = (z+\frac{3}{2})^2$.
Ответ: $\frac{9}{4}$.

г) В выражении $a^2 + a + ...$ первый член (обозначим его как $x^2$ чтобы не путать с переменной $a$ в формуле) равен $a^2$, значит $x=a$. Удвоенное произведение $2xy$ равно $a$. Подставив $x=a$, получаем $2 \cdot a \cdot y = a$. Отсюда находим $y = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$. Недостающий член равен $y^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
Таким образом, $a^2 + a + \frac{1}{4} = (a+\frac{1}{2})^2$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.