Номер 3.12, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Какие уравнения называют квадратными. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.12, страница 118.

Условие.

3.12 ДОКАЗЫВАЕМ Покажите, что:

a) числа $m$ и $n$ являются корнями уравнения

$x^2 - (m + n)x + mn = 0;$

б) числа $m + n$ и $m - n$ являются корнями уравнения

$x^2 - 2mx + m^2 - n^2 = 0.$

Составьте уравнения такого вида, подставив вместо $m$ и $n$ конкретные числа, и укажите корни каждого составленного уравнения.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы доказать, что числа $m$ и $n$ являются корнями уравнения $x^2 - (m + n)x + mn = 0$, воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета.

Согласно этой теореме, для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, если сумма чисел $x_1$ и $x_2$ равна $-p$, а их произведение равно $q$, то эти числа являются корнями данного уравнения.

В нашем уравнении $x^2 - (m + n)x + mn = 0$ коэффициенты равны $p = -(m+n)$ и $q = mn$.

Проверим сумму и произведение предполагаемых корней $x_1 = m$ и $x_2 = n$:

Сумма корней: $m + n$. По теореме Виета, она должна быть равна $-p = -(-(m+n)) = m+n$. Условие выполняется.

Произведение корней: $m \cdot n = mn$. По теореме Виета, оно должно быть равно $q = mn$. Условие также выполняется.

Поскольку оба условия соблюдены, числа $m$ и $n$ являются корнями данного уравнения.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Аналогично докажем, что числа $m+n$ и $m-n$ являются корнями уравнения $x^2 - 2mx + m^2 - n^2 = 0$.

В данном уравнении вида $x^2+px+q=0$ коэффициенты равны $p = -2m$ и $q = m^2-n^2$.

Проверим сумму и произведение предполагаемых корней $x_1 = m+n$ и $x_2 = m-n$:

Сумма корней: $(m+n) + (m-n) = 2m$. По теореме Виета, она должна быть равна $-p = -(-2m) = 2m$. Условие выполняется.

Произведение корней: $(m+n)(m-n) = m^2 - n^2$ (по формуле разности квадратов). По теореме Виета, оно должно быть равно $q = m^2 - n^2$. Условие также выполняется.

Поскольку оба условия соблюдены, числа $m+n$ и $m-n$ являются корнями данного уравнения.

Ответ: Утверждение доказано.

Составим уравнения такого вида, подставив вместо $m$ и $n$ конкретные числа. Возьмем, к примеру, $m=5$ и $n=3$.

Для случая а):

Подставляем $m=5$ и $n=3$ в уравнение $x^2 - (m+n)x + mn = 0$:

$x^2 - (5+3)x + (5 \cdot 3) = 0$

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Корнями этого уравнения являются числа $m=5$ и $n=3$.

Для случая б):

Подставляем $m=5$ и $n=3$ в уравнение $x^2 - 2mx + m^2 - n^2 = 0$:

$x^2 - 2(5)x + (5^2 - 3^2) = 0$

$x^2 - 10x + (25 - 9) = 0$

$x^2 - 10x + 16 = 0$

Корнями этого уравнения являются числа $m+n=5+3=8$ и $m-n=5-3=2$.

Ответ: Пример уравнения вида а): $x^2 - 8x + 15 = 0$, корни 5 и 3. Пример уравнения вида б): $x^2 - 10x + 16 = 0$, корни 8 и 2.