Номер 3.16, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.16, страница 123.

Условие.

ДЕЙСТВУЕМ ПО ФОРМУЛЕ (3.16–3.19) Решите уравнение:

3.16 а) $2x^2 - 3x - 5 = 0$;

б) $y^2 - 4y + 5 = 0$;

в) $5z^2 - 2z - 3 = 0$;

г) $-x^2 - x + 20 = 0$;

д) $-2x^2 + 13x - 21 = 0$;

е) $y^2 + 5y - 50 = 0$;

ж) $x^2 - 18x + 81 = 0$;

з) $-7x^2 + 5x + 2 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $2x^2 - 3x - 5 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 2$, $b = -3$, $c = -5$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-3) + 7}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$
$x_2 = \frac{-(-3) - 7}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$
Ответ: $x_1 = 2.5, x_2 = -1$.

б) $y^2 - 4y + 5 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$, где $a = 1$, $b = -4$, $c = 5$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.

в) $5z^2 - 2z - 3 = 0$
Это квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$, где $a = 5$, $b = -2$, $c = -3$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.
Найдем корни по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$z_1 = \frac{-(-2) + 8}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 8}{10} = \frac{10}{10} = 1$
$z_2 = \frac{-(-2) - 8}{2 \cdot 5} = \frac{2 - 8}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6$
Ответ: $z_1 = 1, z_2 = -0.6$.

г) $-x^2 - x + 20 = 0$
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным: $x^2 + x - 20 = 0$.
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = 1$, $c = -20$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-1 - 9}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$
Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -5$.

д) $-2x^2 + 13x - 21 = 0$
Умножим обе части уравнения на $-1$: $2x^2 - 13x + 21 = 0$.
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 2$, $b = -13$, $c = 21$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21 = 169 - 168 = 1$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-13) + 1}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 1}{4} = \frac{14}{4} = 3.5$
$x_2 = \frac{-(-13) - 1}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 1}{4} = \frac{12}{4} = 3$
Ответ: $x_1 = 3.5, x_2 = 3$.

е) $y^2 + 5y - 50 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$, где $a = 1$, $b = 5$, $c = -50$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$.
Найдем корни по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-5 + 15}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$
$y_2 = \frac{-5 - 15}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10$
Ответ: $y_1 = 5, y_2 = -10$.

ж) $x^2 - 18x + 81 = 0$
Можно заметить, что левая часть уравнения является полным квадратом разности: $(x - 9)^2 = 0$.
Отсюда следует, что $x - 9 = 0$, то есть $x = 9$.
Или решим через дискриминант, где $a = 1$, $b = -18$, $c = 81$:
$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 81 = 324 - 324 = 0$
Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих).
Найдем корень по формуле $x = \frac{-b}{2a}$:
$x = \frac{-(-18)}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$
Ответ: $x = 9$.

з) $-7x^2 + 5x + 2 = 0$
Умножим обе части уравнения на $-1$: $7x^2 - 5x - 2 = 0$.
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 7$, $b = -5$, $c = -2$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 25 + 56 = 81$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-5) + 9}{2 \cdot 7} = \frac{5 + 9}{14} = \frac{14}{14} = 1$
$x_2 = \frac{-(-5) - 9}{2 \cdot 7} = \frac{5 - 9}{14} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}$
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -\frac{2}{7}$.