Номер 3.20, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.20, страница 123.

Условие.

3.20 Вычислите дискриминант уравнения и ответьте на следующие вопросы: 1) имеет ли уравнение корни; 2) если имеет, то сколько; 3) рациональными или иррациональными числами являются корни?

а) $4x^2 - 12x + 9 = 0;$

б) $2x^2 + 3x - 9 = 0;$

в) $5x^2 - x + 2 = 0;$

г) $x^2 + 7x - 1 = 0;$

д) $x^2 - 3x + 5 = 0;$

е) $3x^2 + 2x - 2 = 0;$

ж) $3x^2 - 11x + 10 = 0;$

з) $25x^2 + 10x + 1 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для анализа квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ используется дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
1) Если $D \ge 0$, уравнение имеет действительные корни. Если $D < 0$, действительных корней нет.
2) Если $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Если $D = 0$, уравнение имеет один корень.
3) Если $D \ge 0$ и является полным квадратом (т.е. $\sqrt{D}$ — целое число), то корни рациональные. Если $D > 0$ и не является полным квадратом, то корни иррациональные.

а) $4x^2 - 12x + 9 = 0$
Коэффициенты: $a=4, b=-12, c=9$.
Дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$.
1) Так как $D=0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет один корень.
3) Так как $D=0$ является полным квадратом ($0^2=0$), корень рациональный.
Ответ: Дискриминант равен 0; уравнение имеет один рациональный корень.

б) $2x^2 + 3x - 9 = 0$
Коэффициенты: $a=2, b=3, c=-9$.
Дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81$.
1) Так как $D > 0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет два корня.
3) Так как $D=81$ является полным квадратом ($9^2=81$), корни рациональные.
Ответ: Дискриминант равен 81; уравнение имеет два рациональных корня.

в) $5x^2 - x + 2 = 0$
Коэффициенты: $a=5, b=-1, c=2$.
Дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 1 - 40 = -39$.
1) Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: Дискриминант равен -39; уравнение не имеет корней.

г) $x^2 + 7x - 1 = 0$
Коэффициенты: $a=1, b=7, c=-1$.
Дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 49 + 4 = 53$.
1) Так как $D > 0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет два корня.
3) Так как $D=53$ не является полным квадратом, корни иррациональные.
Ответ: Дискриминант равен 53; уравнение имеет два иррациональных корня.

д) $x^2 - 3x + 5 = 0$
Коэффициенты: $a=1, b=-3, c=5$.
Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.
1) Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: Дискриминант равен -11; уравнение не имеет корней.

е) $3x^2 + 2x - 2 = 0$
Коэффициенты: $a=3, b=2, c=-2$.
Дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 4 + 24 = 28$.
1) Так как $D > 0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет два корня.
3) Так как $D=28$ не является полным квадратом, корни иррациональные.
Ответ: Дискриминант равен 28; уравнение имеет два иррациональных корня.

ж) $3x^2 - 11x + 10 = 0$
Коэффициенты: $a=3, b=-11, c=10$.
Дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 121 - 120 = 1$.
1) Так как $D > 0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет два корня.
3) Так как $D=1$ является полным квадратом ($1^2=1$), корни рациональные.
Ответ: Дискриминант равен 1; уравнение имеет два рациональных корня.

з) $25x^2 + 10x + 1 = 0$
Коэффициенты: $a=25, b=10, c=1$.
Дискриминант: $D = 10^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 = 100 - 100 = 0$.
1) Так как $D=0$, уравнение имеет корни.
2) Уравнение имеет один корень.
3) Так как $D=0$ является полным квадратом ($0^2=0$), корень рациональный.
Ответ: Дискриминант равен 0; уравнение имеет один рациональный корень.