Номер 3.24, страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3.24, страница 124.

Условие.

3.24 Найдите корни уравнения:

а) $x^2(x - 3) - 10x(x - 3) - 24(x - 3) = 0;$

б) $3z^2(z - 1) + 10z(z - 1) + 8(1 - z) = 0;$

в) $y^2(y + 2) + 2y(y + 2) - 15(y + 2) = 0;$

г) $2u^2(u + 5) - 3u(u + 5) - 9(u + 5) = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Исходное уравнение: $x^2(x - 3) - 10x(x - 3) - 24(x - 3) = 0$.
В каждом слагаемом есть общий множитель $(x - 3)$, который можно вынести за скобки:
$(x - 3)(x^2 - 10x - 24) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы получаем два уравнения:
1) $x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$.
2) $x^2 - 10x - 24 = 0$.
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.
Найдем корни:
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
$x_3 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.
Ответ: $-2; 3; 12$.

б) Исходное уравнение: $3z^2(z - 1) + 10z(z - 1) + 8(1 - z) = 0$.
Заметим, что $1 - z = -(z - 1)$. Преобразуем уравнение, чтобы все слагаемые содержали множитель $(z - 1)$:
$3z^2(z - 1) + 10z(z - 1) - 8(z - 1) = 0$.
Вынесем общий множитель $(z - 1)$ за скобки:
$(z - 1)(3z^2 + 10z - 8) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $z - 1 = 0 \implies z_1 = 1$.
2) $3z^2 + 10z - 8 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.
Найдем корни:
$z_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
$z_3 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$.
Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.
Ответ: $-4; \frac{2}{3}; 1$.

в) Исходное уравнение: $y^2(y + 2) + 2y(y + 2) - 15(y + 2) = 0$.
Вынесем общий множитель $(y + 2)$ за скобки:
$(y + 2)(y^2 + 2y - 15) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $y + 2 = 0 \implies y_1 = -2$.
2) $y^2 + 2y - 15 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-15$. Подбором находим корни $y_2 = 3$ и $y_3 = -5$.
Также можно решить через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
$y_2 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$y_3 = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.
Ответ: $-5; -2; 3$.

г) Исходное уравнение: $2u^2(u + 5) - 3u(u + 5) - 9(u + 5) = 0$.
Вынесем общий множитель $(u + 5)$ за скобки:
$(u + 5)(2u^2 - 3u - 9) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю:
1) $u + 5 = 0 \implies u_1 = -5$.
2) $2u^2 - 3u - 9 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81 = 9^2$.
Найдем корни:
$u_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.
$u_3 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5$.
Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.
Ответ: $-5; -1.5; 3$.